1.4 公因數(shù)、公倍數(shù)u 教學(xué)內(nèi)容教材第12-14頁例認(rèn)識公因數(shù)和求最大公因數(shù)，認(rèn)識公倍數(shù)與求最小公倍數(shù)，課堂活動及練習(xí)四的相關(guān)內(nèi)容。u 教材提示本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了找因數(shù)和找倍數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)找兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)。本節(jié)課共有三個知識點：知識點一：公因數(shù)和公倍數(shù)的認(rèn)識。知識點二：最大公因數(shù)的認(rèn)識和求最大公因數(shù)的方法。知識點三：最小公倍數(shù)的認(rèn)識和求最小公倍數(shù)的方法。 教材首先通過一個問題情境引入找公因數(shù)。把一個長方形剪成大小相等的正方形且沒有剩余，實際就是求長和寬的公有的因數(shù)。通過找公因數(shù)而得到最大公因數(shù)。再通過分別找兩個數(shù)的倍數(shù)中發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)公有的倍數(shù)。并發(fā)現(xiàn)公倍數(shù)的個數(shù)有無限個，但有最小的公倍數(shù)。并讓學(xué)生學(xué)會用不同的方法來找最小公倍數(shù)。在教學(xué)的過程中，要讓學(xué)生學(xué)會用列舉法找公因數(shù)和公倍數(shù)，而對于用短除法來找最在公因數(shù)和最小公倍數(shù)，則是這節(jié)課的重點，也是難點。在教學(xué)中，我們可以借助列舉法來探討用短除法的方法，并結(jié)合2、3、5的倍數(shù)特征來進(jìn)行短除法練習(xí)。u 教學(xué)目標(biāo)知識與技能：探索找兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)的方法，會用列舉法和短除法來找兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。經(jīng)歷找兩個數(shù)的公因數(shù)的過程，理解最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。過程與方法：經(jīng)歷知識的整理與探究過程，增強歸納、概括等數(shù)學(xué)能力，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感。情感、態(tài)度和價值觀：進(jìn)一步發(fā)展與同伴進(jìn)行合作交流的意識和能力，獲得成功的體驗。u 重點、難點重點找兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)。難點用短除法找兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。u 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：課件。學(xué)生準(zhǔn)備：草稿本，長3厘米，寬2厘米的紙片，邊長分別為6厘米和8厘米的正方形。u 教學(xué)過程（一）操作活動導(dǎo)入：1.課前讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長方形紙片和正方形。然后引導(dǎo)學(xué)生用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片分別鋪邊長6厘米、8厘米的正方形。思考：能鋪滿哪個正方形？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生獨立活動后指名在實物展示臺上鋪一鋪。2.引導(dǎo)：用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片鋪邊長6厘米的正方形，每條邊各鋪了幾次？怎樣用算式表示？鋪邊長8厘米的正方形呢？每條邊都能正好鋪滿嗎？根據(jù)剛才鋪正方形的過程，在頭腦里想一想，用3厘米、寬2厘米的長方形紙片還可以鋪邊長多少厘米的正方形？在小組里交流。教師講解：6、12、18、24既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，它們是2和3的公倍數(shù)。3.引入課題：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：公因數(shù)、公倍數(shù)。板書課題：公因數(shù)、公倍數(shù)設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生實際地操作來拼一拼，做一做，學(xué)生才能真切地感受到數(shù)學(xué)的神奇，增進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也在活動中培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神。（二）探究新知：1、找公因數(shù)和最大公因數(shù)。（1）課件出示第12頁例1：一張長30厘米，寬12厘米的長方形紙，剪成大小相等的正方形且沒有剩余。提問：你認(rèn)為該怎樣剪。這個邊長與長和寬有怎樣的關(guān)系？討論交流，得出結(jié)論：這個正方形的邊長應(yīng)該能同時整除這個長方形的長和寬。也就是這個長方形長和寬的共有的因數(shù)，也就是公因數(shù)。（2）怎樣來找這兩個數(shù)的公因數(shù)呢？小組交流后匯報：可以先分別找出這兩個數(shù)的因數(shù)，再從兩個數(shù)的因數(shù)里找到它們公有的因數(shù)。提出練習(xí)要求：請同學(xué)們在草稿本上分別找出這兩個數(shù)的因數(shù)，再從這兩個數(shù)的因數(shù)里找到它們的公因數(shù)。學(xué)生在草稿本上找公因數(shù)。最后匯報交流，集體訂正。學(xué)生匯報：12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12.30的因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30.（3）什么叫公因數(shù)呢？啟發(fā)學(xué)生看書后回答：就是這兩個數(shù)共有的因數(shù)，如12和30的公因數(shù)有：1，2，3，6。引導(dǎo)找最大公因數(shù)：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。最大的因數(shù)是它本身，最小的因數(shù)是1.那兩個數(shù)的公因數(shù)中，最大的是幾呢？這個正方形最大的邊長是幾厘米？ 學(xué)生回答：從公因數(shù)里看，最大的公因數(shù)是6。所以這個正方形最大的邊長是6厘米。再次啟發(fā)學(xué)生尋求多種方法來求最大公因數(shù)：求兩個數(shù)的最大公因數(shù)是先求到公因數(shù)，再從公因數(shù)里找到最大的公因數(shù)。除了上面的列舉法外，還有別的方法嗎？學(xué)生匯報：還可以這樣做。即用畫圖法。教師講解說明：從圖中可以看出，1，2，3，6是12和30的公有的因數(shù)，叫做12和30的公因數(shù)。其中6是最大的一個公因數(shù)，叫做它們的最大公因數(shù)。設(shè)計意圖： 讓學(xué)生在動手活動中感受到公因數(shù)的實際應(yīng)用，并認(rèn)識公因數(shù)，再通過讓學(xué)生運用列舉的方法，讓學(xué)生主動獲取求最大公因數(shù)的方法。引導(dǎo)講解第三種求最大公因數(shù)的方法：還有一種求最大公因數(shù)的方法，叫短除法。這種方法該怎樣做呢？我們一起來學(xué)習(xí)一下。教師課件演示：因為12和30的個位上是0和2，這兩個數(shù)都能被2整除。所以用它們公有的因數(shù)2去除12和30，余6和15。我們發(fā)現(xiàn)6和15都有被3整除，所以再用它們的公因數(shù)3去除。余2和5。這時2和5只有公因數(shù)1了。就不能再除了。這時，我們要以把兩次的因數(shù)乘起來，就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)了。所以12和30的最大公因數(shù)是32=6。（4）課件出示第12頁試一試：讓學(xué)生用上面的方法試著找一找6和12的公因數(shù)和最大公因數(shù)？學(xué)生在草稿本上練習(xí)，最后匯報交流。引導(dǎo)總結(jié)：從這兩個數(shù)的公因數(shù)中，我們有什么發(fā)現(xiàn)？交流后匯報：這兩個數(shù)，其中的小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)。所以當(dāng)一個數(shù)是別一個數(shù)的因數(shù)時，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是小數(shù)。啟發(fā)練習(xí)：再試著求7和9的最大公因數(shù)？學(xué)生通過練習(xí)和小組交流后匯報：因為7和9都是質(zhì)數(shù)，所以它倆的公因數(shù)就為1.7和9的最大公因數(shù)為1。結(jié)論：當(dāng)兩個數(shù)是質(zhì)數(shù)時，它們的最大公因數(shù)為1。設(shè)計意圖： 在學(xué)生會用列舉法求最大公因數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探究用分解質(zhì)因數(shù)的方法來求最大公因數(shù)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。2、 找公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。出示第12頁例2：讓學(xué)生嘗試找一找，想一想。從4的倍數(shù)和6的倍數(shù)表中，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生先獨立觀察后，再在小組內(nèi)交流，最后集體匯報。學(xué)生匯報：這個表中可以看出，12，24，36，既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)。教師講解：12，24，36，像這樣既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)的數(shù)，也就是4和6公有的倍數(shù)，叫做4和6的公倍數(shù)。而其中的12是公倍數(shù)中最小的倍數(shù)，叫做它們的最小公倍數(shù)。啟發(fā)學(xué)生用前面的分解質(zhì)因數(shù)法和短除法來求最小公倍數(shù)。（1） 分解質(zhì)因數(shù)法：先把4和6分解質(zhì)因數(shù)，再找出它們共有的因數(shù)2，最后用它們公有的因數(shù)乘以各自的余數(shù)的各就是它們的最小公倍數(shù)，即：4=226=234和6的最小公倍數(shù)是223=12。（2） 短除法。4和6的最小公倍數(shù)是223=12。教師引導(dǎo)總結(jié)：現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，求兩個數(shù)的最小公倍的方法有：（1）列舉法。也就是先各自找出兩個數(shù)的倍數(shù)，在從各自的倍數(shù)中找出兩個數(shù)的公倍數(shù)，最后找出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）分解質(zhì)因數(shù)法。先把這兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再找到它們公有的質(zhì)因數(shù)，最后用它們公有質(zhì)因數(shù)乘各自的余數(shù)。就得到這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（3）短除法。 先找出這兩個數(shù)的公因數(shù)，再用公因數(shù)乘各自的余數(shù)，就得到兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（課件出示第13頁試一試）讓學(xué)生找出6和8的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)嗎？3和7的最小公倍數(shù)呢？并讓學(xué)生從這兩道題中找到規(guī)律。學(xué)生先獨立在草稿本上練習(xí)，最后在小組內(nèi)交流各自的結(jié)果。最后集體匯報。（1）用短除法找6和8的最小公倍數(shù)為：6和8的最小公倍數(shù)為234=24。6和8的公倍數(shù)為：24，48，72，3和7的最小公倍數(shù)為137=21。3和7的公倍數(shù)為：21，42，63，從中可以看出，當(dāng)兩個數(shù)只有公因數(shù)1時，這兩個數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生從兩個數(shù)各自的因數(shù)中找公因數(shù)和最小公倍數(shù)，從倍數(shù)中公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。讓學(xué)生動手操作和發(fā)現(xiàn)找最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，近而引導(dǎo)學(xué)生理解用短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。（三）鞏固新知：1、出示第13頁課堂活動第1題。求最少要用幾個籃子，就是求16和20的什么？（1）引導(dǎo)學(xué)生看題后回答出：就是求16和20的最大公因數(shù)。（2）在草稿本上練習(xí)找出16和20的最大公因數(shù)。學(xué)生在草稿本上練習(xí)找最大公因數(shù)，再在小組內(nèi)匯報交流。最后集體匯報：2、出示第13頁課堂活動第2題。讓學(xué)生接著填表，最后完成下面的后面的填空題。學(xué)生在書上完成書中的表格并填空。最后匯報交流。3、出示第14頁練習(xí)四的第6題。（1）數(shù)學(xué)醫(yī)院。這四道題中，有哪些題是錯的，請幫它改正過來。學(xué)生匯報：第一道是錯的。因數(shù)用分解質(zhì)因數(shù)的方法，8=222，12=223。它們最大的公因數(shù)是22=4。第二道是對的。5和8只有公因數(shù)1。第三道是錯的。因數(shù)兩個數(shù)的最小公倍數(shù)也有可以等于其中較大的數(shù)。如3和9的最小公倍數(shù)就是9，它等于9。第四道也是錯的。如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。小數(shù)則是它們的最大公因數(shù)。（四）達(dá)標(biāo)反饋習(xí)題;1.用短除法求下列各數(shù)的最大公因數(shù)：12和9 24和16 2.用短除法求下列各數(shù)的最小公倍數(shù)：24和30 60和84 3. 有兩根木料，長分別是18米和24米，瑞要把它們截成相等的小段，每根不許有剩余，每段最長是多少米？答案;1.3 8 2.120 420 3.6米（五）課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？你有什么收獲？總結(jié)：今天學(xué)習(xí)的是求兩個數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。求最小公倍數(shù)的三種方法。（1）列舉法。（2）分解質(zhì)因數(shù)法。（3）短除法。 設(shè)計意圖：通過談收獲，對整節(jié)課的主要內(nèi)容有一個整體認(rèn)知，同時也對求最小公倍數(shù)的方法有一個更加明確的認(rèn)識。開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維。（6） 布置作業(yè)1.完成教材第13頁練習(xí)四的第1題，先讓學(xué)生確定求最大公因數(shù)的方法后再解題。2.完成教材第14頁練習(xí)四的第3、4題。3.找出各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。10和20 11和13 4和14 55和54. 小明要把一張長96厘米，寬80厘米的長方形紙剪成面積相等的正方形而沒有剩余，最少能剪多少個？答案：3. 10和20的最大公因數(shù)是10，最小公倍數(shù)是20。 11和13的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是143。 4和14的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是28。 55和5的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)是55。4. 96和80的最大公因數(shù)是16。9616=6，8016=5，56=30(個）u 板書設(shè)計公因數(shù)、公倍數(shù)4=22 6=23 4和6的最小公倍數(shù)是223=12。u 教學(xué)反思這節(jié)課主要是讓學(xué)生在操作與交流活動中認(rèn)識公倍數(shù)與最小公倍數(shù)，公因數(shù)與最大公因數(shù)，并在操作和交流中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，本節(jié)課從最多能剪多少個正方形入手。這樣安排有兩點好處：一是學(xué)生通過操作活動，能體會公倍數(shù)和公因數(shù)的實際背景，加深對抽象概念的理解；二是有利于改善學(xué)習(xí)方式，便于學(xué)生通過操作和交流經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程。在這節(jié)課上，讓學(xué)生按要求自主操作，通過小組合作，去實際動手剪一剪，做一做，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考正方形的邊長既要是長方形長的因數(shù)，也要是寬的因數(shù)。這時揭示公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念，突出概念的內(nèi)涵是“既是又是”即“公有”。在教學(xué)中。要加強新舊知識的銜接。如倍數(shù)和因數(shù)是前面所學(xué)內(nèi)容，新內(nèi)容要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)中，要按照因數(shù)公因數(shù)最大公因數(shù)倍數(shù)公倍數(shù)最大公倍數(shù)來組織教學(xué)。其次要圍繞“公”，理解公倍數(shù)與公因數(shù)的概念。所以在教學(xué)中，我們必須注重學(xué)生對概念間的關(guān)系的理解，從而使知識的認(rèn)識過程條理化。本節(jié)的不足是對于短除法，我們引導(dǎo)和理解的不夠深入，對于素質(zhì)的兩的數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系理解的不夠透徹。教學(xué)資源：1.找出下面兩組數(shù)有什么關(guān)系？它們的最大公因數(shù)是多少？最小公倍數(shù)是多少？我們可以得出一個什么樣的結(jié)論？5和7 4和92.下面兩組數(shù)是什么關(guān)系？它們的最大公因數(shù)是多少？最小公倍數(shù)是多少？我們可以得出一個什么樣的結(jié)論？9和3 28和73.下面兩組數(shù)是什么關(guān)系？它們的最大公因數(shù)是多少？最小公倍數(shù)是多少？我們可以得出一個什么樣的結(jié)論？9和10 11和12答案：1. 5和7只有公因數(shù)1，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是57=35；4和9只有公因數(shù)1，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是49=36。結(jié)論：如果兩個數(shù)只有公因數(shù)1，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。 2. 9和3是倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是9；28和7是倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是28。結(jié)論：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)，較大的數(shù)是它們的最小公倍數(shù)。3. 9和10是連續(xù)的自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是910=90； 11和12是連續(xù)的自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是1112=132。結(jié)論：兩個連續(xù)的自然數(shù)（0除外）的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它倆的乘積。資料鏈接：質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)素數(shù)指的是一個只能被1和它本身整除的數(shù)，它是一個在數(shù)論中占重要研究地位的數(shù)，是一個數(shù)學(xué)皇冠上占一個重要位置的數(shù)。 素數(shù)有多少：高斯猜測，n以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)大約與n/lnn相當(dāng)，或者說，當(dāng)n很大時，兩者數(shù)量級相同。這就是著名的素數(shù)定理。 目前發(fā)現(xiàn)的最大的素數(shù)：18世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)是231-1，19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)是2127-1，20世紀(jì)末人類已知的最大素數(shù)是2859433-1，用十進(jìn)制表示，這是一個258715位的數(shù)字。 與素數(shù)有關(guān)的著名猜想有： 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶數(shù)均是兩個素數(shù)的和，大于5的所有奇數(shù)均是三個素數(shù)之和。其中第二個猜想是第一個的自然推論，因此歌德巴赫猜想又被稱為1+1問題。我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了1+2，即所有大于2的偶數(shù)都是一個素數(shù)和只有兩個素數(shù)因數(shù)的合數(shù)的和。國際上稱為陳氏定理。