第1單元 倍數與因數例1：小林和小軍都到圖書館去借書，小林每6天去一次，小軍每8天去一次，如果7月1日他們兩人在圖書館相遇，那么下一次都到圖書館是幾月幾日？分析：此題主要考查求兩個數的最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；數字大的可以用短除解答，由題意可知：要求下一次都到圖書館是幾月幾日，先求出6和8的最小公倍，因為6和8的最小公倍數是24，即7月1日再經24天兩人都到圖書館，此題可解。解答：623，8222，6與8的最小公倍數是22324，即再經24天兩人都到圖書館，7月1日+24日7月25日；答：下一次都到圖書館是7月25日。例2：能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？分析：首先根據是3的倍數的數各個位上的數相加所得的和能被3整除，可得1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除；然后根據3、6、9不能和其它的數組合，使得它們的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9總有一個數要和不是3的倍數相鄰，所以不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除，據此判斷即可。解答：1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除，但是3、6、9不能和其它的數組合，使得它們的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9總有一個數要和不是3的倍數相鄰，所以不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除。例3：菲菲家的電話號碼是一個八位數，記為：ABCDEFGH已知：A是最小的質數，B是最小的合數，C既不是質數也不是合數，D是比最小的質數小2的數，E是10以內最大的合數，F只有因數1和5，G是8的最大因數，H是6的最小倍數。分析：我們知道菲菲家的電話號碼是一個八位數，記為：ABCDEFGH已知：A是最小的質數，B是最小的合數，C既不是質數也不是合數，D是比最小的質數小2的數，E是10以內最大的合數，F只有因數1和5，G是8的最大因數，H是6的最小倍數。解答：由分析可知：A是2，B是4，C是1，D是0，E是9，F是5，G是8，H是6，所以這個數是：24109586。 例4：猜猜看小偵探柯楠在偵破一個案件的時候，發現與案件有關的一個保險箱設有一個六位數的密碼是：他又發現主人為了防備忘記密碼在自己的日記本中做了如下的提示，A是5的最大因數，B的所有因數是1，2，4，8，C是最小的自然數D只有一個因數，E既是質數，又是偶數，F既是9的因數又是9的倍數。你能幫助小偵探找到密碼打開這個保險箱嗎？并說明你推理的理由是什么？分析：根據題意可知：A是5的最大因數，因為5的最大因數是5，所以A是5；B的所有因數是1，2，4，8，根據一個數最大的因數是它本身，可知B是8；C是最小的自然數，最小的自然數是0，所以C是0；D只有一個因數，是1；E既是質數，又是偶數，所以E是2；F既是9的因數又是9的倍數，所以F是9；由此即可寫出即可。解答：由分析可知：A是5，B是8，C是0，D是1，E是2，F是9，所以這個六位數的密碼是：580129。例5：已知a，b，c都是正整數，a，b，c的最大公約數為24，a，b的最小公倍數是360；a，c的最小公倍數是144。（1）求b的最小值。（2）若b，c的最小公倍數為240，求a，b，c的值。分析：3602453，1442423，因為a，b，c的最大公約數為24，a，b的最小公倍數是360，a，c的最小公倍數是144，當a取最大時，b最小，a最大為：24372，所以b245120；若b，c的最小公倍數為240，因為：2402425，b120，所以c24248，進而得出a72；據此解答。解答：3602453，1442423，因為a，b，c的最大公約數為24，當a取最大時，b最小，a最大為：24372，所以b245120；若b，c的最小公倍數為240，因為：2402425，3602453，所以b120，a24372，c24248。例6：一盒棋子共有96個，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒數要相同，最后一次正好拿完共有幾種拿法？分析：本題可以先把實際問題轉化成數學問題，正好拿完，就沒有余數，每次拿的個數就是96的因數，再根據求因數的方法即可解決問題。解答：96222223，那么96的因數可以表示為：96196248332616424812，共有12個因數，不一次拿出，也不一個個地拿，所以96和1這對因數不要；共有10種拿法。答：共有10種拿法。例7：用長4厘米、寬3厘米的長方形，照如圖的樣子拼成正方形拼成的正方形的邊長最小是多少厘米？（先在圖中畫一畫再解答）分析：此題主要考查了求兩個數的最大公因數：是互質數的兩個數，它們的最大公約數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積。求拼成的正方形的邊長最小是多少厘米，即求3和4的最小公倍數，因為3和4是互質數，是互質數的兩個數，它們的最大公約數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積；據此解答即可。解答：4312，即拼成的正方形的邊長是12厘米；答：拼成的正方形的邊長是12厘米。例8：一條72米長的路，原來從一端起，每隔9米有一盞路燈。現在重新安裝，要從一端起每隔6米裝一盞為節省施工成本，有些位置的路燈是不需要重新安裝的不需要重新安裝的路燈至少有多少盞？（先畫一畫，再解答）分析：根據題意可知：不需要重新安裝的是9米與6米的公倍數的路燈，即18米倍數的路燈不移動，也就是求出每隔18米路燈的盞數，加上開頭的那一盞即可。解答：如圖所示：9與6的最小公倍數是18；7218+14+15（盞）答：不需要重新安裝的路燈至少有5盞