一)數(shù) 與 代 數(shù)一、自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及正、負(fù)數(shù)的認(rèn)識1.自然數(shù):數(shù)物體的時(shí)候,用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)0,1,2,3叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有,用0表示,0也是自然數(shù)。2.小數(shù):把單位“1”平均分成10份、100份、1000份得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾的數(shù),可以用小數(shù)表示。3.分?jǐn)?shù):把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。表示其中的1份的數(shù),叫做分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)。4.百分?jǐn)?shù):表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來表示。5.整數(shù):正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。6.比0大的數(shù)是正數(shù),比0小的數(shù)是負(fù)數(shù),0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。7.分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化:(1)小數(shù)化成分?jǐn)?shù):原來有幾位小數(shù),就在1的后面寫幾個(gè)0作分母,把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子,能約分的要約分。(2)分?jǐn)?shù)化成小數(shù):用分子除以分母,能除盡的就化成有限小數(shù),不能化成有限小數(shù)的,一般保留三位小數(shù)。(3)小數(shù)化成百分?jǐn)?shù):只要把小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位,同時(shí)在后面添上百分號。(4)百分?jǐn)?shù)化成小數(shù):把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù),只要把百分號去掉,同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。(5)分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù):通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時(shí),通常保留三位小數(shù)),再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。(6)百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù):先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母是100的分?jǐn)?shù),能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。8.數(shù)的大小比較:(1)比較整數(shù)的大小:位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大;如果位數(shù)相同,就看最高位,最高位上的數(shù)大,那個(gè)數(shù)就大;最高位上的數(shù)相同,就看下一位,哪一位上的數(shù)大,那個(gè)數(shù)就大。(2)比較小數(shù)的大小:先看它們的整數(shù)部分,整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大;整數(shù)部分相同的,十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大;十分位上的數(shù)也相同的,百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大(3)比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù),分子大的分?jǐn)?shù)大;分子相同的數(shù),分母小的分?jǐn)?shù)大。二、因數(shù)、倍數(shù)、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)1.如果自然數(shù)a能被自然數(shù)b(b 0)整除,a就是b的倍數(shù),b就是a的因數(shù)。如35能被7整除,所以35是7的倍數(shù),7是35的因數(shù)。2.幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例如:12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和18的公因數(shù),6是它們的最大公因數(shù)。3.幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18,3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18,其中6、12、18是2、3的公倍數(shù),6是它們的最小公倍數(shù)。三、用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示事物的連續(xù)變化1.用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量體現(xiàn)了符號化思想。2.用正、負(fù)號表示收支情況以及計(jì)算每次結(jié)余。四、人民幣上的號碼1.人民幣上的號碼有計(jì)數(shù)的作用。2.人民幣上的號碼可以區(qū)分發(fā)行的時(shí)間。五、大數(shù)的讀寫、改寫和省略1.大數(shù)的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。讀億級、萬級時(shí),先按照個(gè)級的讀法去讀,再在后面加一個(gè)“億”字或“萬”字。2.大數(shù)的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)計(jì)數(shù)單位也沒有,就在那個(gè)數(shù)位上寫0占位。3.數(shù)的改寫:一個(gè)較大的多位數(shù),為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。例如:把 1254300000 改寫成用“萬”作單位的數(shù)是 125430 萬;改寫成用“億”作單位的數(shù)是 12.543 億。4.數(shù)的省略:要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小,就把尾數(shù)去掉;如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大,就把尾數(shù)舍去,并向它的前一位進(jìn)1。例如:345900省略萬位后面的尾數(shù)約是 35 萬。4725097420省略億位后面的尾數(shù)約是 47 億。5.用“四舍五入”法取近似數(shù):根據(jù)實(shí)際需要,我們還可以把一個(gè)小數(shù)省略某一位后面的尾數(shù),用一個(gè)近似數(shù)來表示。例如:13.495保留一位小數(shù)是13.5,保留兩位小數(shù)是13.50。六、整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的四則混合運(yùn)算1.沒有括號的混合運(yùn)算:同級運(yùn)算從左往右依次計(jì)算;兩級運(yùn)算,先算乘、除法,后算加、減法。2.有括號的混合運(yùn)算:先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算中括號外面的。七、運(yùn)算定律1.加法交換律:a+b=b+a2.加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)3.乘法交換律:ab=ba4.乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc)5.乘法分配律:(a+b)c=ac+bc八、常用的估算方法1.去尾法:把每個(gè)數(shù)的尾數(shù)去掉,取整十?dāng)?shù)或整百數(shù)進(jìn)行估算。2.進(jìn)一法:在每個(gè)數(shù)的最高位上加1,取整十?dāng)?shù)或整百數(shù)進(jìn)行估算。3.“四舍五入”法:尾數(shù)小于或等于4的舍去,等于或大于5的便入上去,取整十?dāng)?shù)或整百數(shù)進(jìn)行估算。九、解決問題的步驟1.審題理解題意:找出已知條件和問題。審題時(shí),不丟字不添字,邊讀邊思考,弄明白題中每句話的意思。2.選擇算法和列式計(jì)算:從題目中告訴什么,要求什么著手,逐步根據(jù)所給的條件和問題,聯(lián)系四則運(yùn)算的意義,分析數(shù)量關(guān)系,確定算法,進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。3.檢驗(yàn):就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確,是否符合題意。十、代數(shù)式、方程、解方程和用方程解答問題1.用字母表示數(shù)的寫法:數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí),乘號可以記作“”或者省略不寫,數(shù)字要寫在字母的前面。2.方程與解方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解。3.列方程解應(yīng)用題的方法:(1)綜合法:先把問題中的已知數(shù)(量)和所設(shè)未知數(shù)(量)列成有關(guān)的代數(shù)式,再找出它們之間的等量關(guān)系,進(jìn)而列出方程。(2)分析法:先找出等量關(guān)系,再根據(jù)具體情境建立等量關(guān)系的需要,把應(yīng)用題中已知數(shù)(量)和所設(shè)的未知數(shù)(量)列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。十一、正、反比例1.比:兩個(gè)數(shù)相除又叫做這兩個(gè)數(shù)的比。2.比的基本性質(zhì):比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)(0除外),比值不變。3.按比分配方法:首先求出各部分占總量的幾分之幾,然后求出總量的幾分之幾是多少。4.比例的意義:表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。5.比例的性質(zhì):在比例里,兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。6.解比例:求比例中的未知項(xiàng),叫做解比例。7.正比例和反比例:成正比例的關(guān)系用字母表示為yx=k(一定);成反比例的關(guān)系,用字母表示為xy=k(一定)。十二、探索圖形規(guī)律、數(shù)字規(guī)律、算式規(guī)律1.經(jīng)歷從特殊到一般,從一般到特殊這種探索規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律的過程。2.了解從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。(二)圖形與幾何一、認(rèn)識線和角1.直線、射線和線段圖形端點(diǎn)個(gè)數(shù)可否無限延伸可否度量線段2兩端不可無限延伸可以度量射線1一端可以無限延伸不可以度量直線0兩端可以無限延伸不可以度量2.同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系:3.從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長叫做這點(diǎn)到直線的距離。4.角:從一點(diǎn)引出兩條射線,所組成的圖形叫做角。5.角的分類分類銳角直角鈍角平角周角角度特點(diǎn)小于90等于90大于90且小于180等于180等于360二、常見的圖形圖形平面圖形:長方形正方形平行四邊形三角形梯形圓立體圖形:長方體正方體圓柱圓錐三、按要求畫圖1.過一點(diǎn)畫已知直線的垂線和平行線。2.畫一個(gè)指定度數(shù)的角。3.畫一個(gè)指定長、寬的長方形。4.畫一個(gè)圓。四、觀察物體及其物體的展開圖1.確定一個(gè)物體至少需要三個(gè)面。2.根據(jù)給定的兩個(gè)方向觀察到的平面圖形的形狀,確定搭成這個(gè)立體圖形所需要的正方體的數(shù)量范圍。五、常見的量1.長度:1千米=1000 米1米=10分米1分米=10 厘米1厘米=10 毫米2.面積:1平方千米=100 公頃1公頃=10000 平方米1平方米=100 平方分米1平方分米=100平方厘米3.體積與容積:1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1升=1000毫升4.質(zhì)量:1噸=1000千克1千克=1000克5.時(shí)間:1天=24小時(shí)1小時(shí)=60分1分=60秒6.貨幣:1元=10角1角=10分六、平面圖形和立體圖形的計(jì)算以及解決問題1.面積和周長的計(jì)算:2.立體圖形的表面積和體積的計(jì)算:求表面積求體積計(jì)算公式字母公式計(jì)算公式字母公式表面積=棱長棱長6S=aa6體積=棱長棱長棱長V=aaa表面積=(長寬+長高+寬高)2S=2(ab+ah+bh)體積=長寬高V=abh側(cè)面積=底面周長高底面周長=底面半徑2底面周長=底面直徑表面積=側(cè)面積+底面積2S側(cè)面積=ChS側(cè)面積=2rhS底面周長=2rS底面周長=d體積=底面積高V=ShV=r2h體積=底面積高3V=r2h33.解決簡單的實(shí)際問題:解答與周長、面積、體積有關(guān)的實(shí)際問題時(shí),要結(jié)合實(shí)際情況靈活選擇方法進(jìn)行解答。七、圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)1.不改變圖形的形狀和大小的圖形運(yùn)動(dòng):平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱。2.軸對稱圖形:如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個(gè)圖形就叫軸對稱圖形,折痕所在的這條直線叫做對稱軸。3.平移和旋轉(zhuǎn)是兩種基本的圖形變換形式。(1)平移的兩個(gè)要素:一是平移的方向,二是平移的距離。描述平移現(xiàn)象時(shí),要描述成“某物體或圖形向某方向平移了幾個(gè)單位或多遠(yuǎn)”。(2)旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素:一是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)或軸,二是旋轉(zhuǎn)方向(逆時(shí)針方向或順時(shí)針方向),三是旋轉(zhuǎn)角度。描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時(shí),要描述成“某物體或某圖形沿某一點(diǎn)按某方向旋轉(zhuǎn)了多少度”。八、圖形的放大與縮小1.圖形的放大和縮小:只改變圖形的大小,不改變圖形的形狀。2.在方格紙上按一定的比將物體或圖形放大或縮小的步驟:一看,看原圖形每邊占幾格;二算,按已知比計(jì)算出放大或縮小后的圖形的每邊各占幾格;三畫,按計(jì)算出的邊長畫出原圖形放大或縮小后的圖形。九、圖形與位置1.用“方向+方位角”的方法確定物體的位置。2.用數(shù)對表示物體的位置:描述時(shí),先寫列后寫排。十、比例尺1.比例尺=圖上距離實(shí)際距離,解答有關(guān)比例尺的實(shí)際問題時(shí),要注意單位統(tǒng)一。2.比例尺有線段比例尺、數(shù)值比例尺。(三)統(tǒng)計(jì)與概率一、數(shù)據(jù)的搜集和整理(統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖)1.收集數(shù)據(jù)時(shí),一般采用畫“正”字的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類或分段整理。2.描述數(shù)據(jù)時(shí),可以使用統(tǒng)計(jì)表(單式或復(fù)式)或統(tǒng)計(jì)圖(條形、折線或扇形)。3.分析數(shù)據(jù)時(shí),經(jīng)常用到“平均數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念。二、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖1.條形統(tǒng)計(jì)圖能直觀形象地表示出數(shù)據(jù)的多少。2.折線統(tǒng)計(jì)圖能直觀的反應(yīng)出數(shù)據(jù)的增減變化趨勢。三、可能性及其大小1.在一定的范圍內(nèi),某事件是否發(fā)生會有3種情況:一定發(fā)生、不可能發(fā)生和可能發(fā)生。2.可能性發(fā)生時(shí),可能性有大有小。3.在競賽或游戲規(guī)則中,各種情況發(fā)生的可能性相等,則游戲公平。(四)綜合與實(shí)踐一、節(jié)約水資源1.滴水量時(shí)間=滴水速度2.估算時(shí),一般把數(shù)值看成和這個(gè)數(shù)接近的整十?dāng)?shù)或整百數(shù)。二、開發(fā)綠色資源1. 1棵植物的占地面積=株距行距2.解答樹木制造氧氣、太陽能的利用等實(shí)際問題時(shí),注意單位轉(zhuǎn)換。三、生活小區(qū)1.小區(qū)面積和音樂噴泉。2.裝修房子、垃圾和物業(yè)費(fèi)等問題。易混點(diǎn):(一)個(gè)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億都是計(jì)數(shù)單位。易錯(cuò)點(diǎn):小數(shù)部分的最高計(jì)數(shù)單位是“十分之一”。易錯(cuò)點(diǎn):百分?jǐn)?shù)表示分率,沒有單位。易錯(cuò)點(diǎn):負(fù)數(shù)用“-”標(biāo)記,如-2,-45,-0.6等。易錯(cuò)點(diǎn):異分母分?jǐn)?shù)比較大小,先通分,再比較兩個(gè)數(shù)的大小。易錯(cuò)點(diǎn):倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的,不能說誰是倍數(shù),誰是因數(shù)。易混點(diǎn):最大公因數(shù)是公因數(shù),但公因數(shù)不一定是最大的公因數(shù)。巧記翻倍法求最小公倍數(shù)的方法:看小數(shù)、翻大數(shù),第一次同倍數(shù),則最小。易錯(cuò)點(diǎn):結(jié)余=收入-支出易錯(cuò)點(diǎn):編碼時(shí)注意編碼規(guī)則的統(tǒng)一。易混點(diǎn):讀數(shù)時(shí),每一級末尾的0都不讀出來,其他數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)“零”。易混點(diǎn):改寫不改變數(shù)的大小,用“四舍五入”法求近似數(shù),要改變數(shù)的大小。巧記四舍五入,看精確到的數(shù)位的后一位上的數(shù),小于5舍去,大于或等于5,向前一位進(jìn)1。巧記混合運(yùn)算有規(guī)則,先乘、除后加、減,同級運(yùn)算從左往右算;有括號,先小括號,再中括號,最后把中括號外面算。易混點(diǎn):1.減法的性質(zhì):a-b-c=a-(b+c)。2.除法的性質(zhì):abc=a(bc)。3.乘法分配律的逆運(yùn)算:ac+bc=(a+b)c。易錯(cuò)點(diǎn):估算時(shí),一般把數(shù)看成和它接近的整十?dāng)?shù)或整百數(shù)來估算。方法點(diǎn)撥:常用的解題方法有分析法、綜合法、列表法和畫圖法等。易錯(cuò)點(diǎn):當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí),“1”可以省略不寫。易錯(cuò)點(diǎn):方程一定是等式,但等式不一定是方程。易混點(diǎn):綜合法:思考方向是從已知到未知。分析法:思考方向是從未知到已知。易混點(diǎn):求比值的結(jié)果是一個(gè)數(shù),它可以是整數(shù),也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù);化簡比的結(jié)果必須是一個(gè)最簡整數(shù)比,即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。易混點(diǎn):組成比例的四個(gè)項(xiàng),兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng),中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。方法點(diǎn)撥:找規(guī)律時(shí),可以從給出的數(shù)字或圖形等簡單的情況入手來分析和思考。易混點(diǎn):1.過一點(diǎn)可以畫出無數(shù)條直線(射線),過兩點(diǎn)可以畫出一條直線。2.兩點(diǎn)確定一條線段。3.兩點(diǎn)間的所有連線中,線段最短。易混點(diǎn):點(diǎn)到直線的距離是指垂直線段的長度。易混點(diǎn):銳角直角鈍角平角周角易錯(cuò)點(diǎn):1.正方形是長和寬都相等的長方形。2.三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。3.三角形的內(nèi)角和是180。易錯(cuò)點(diǎn):1.用量角器度量角的度數(shù)時(shí),注意“兩重合一找線”。2.畫已知直線的垂線或平行線時(shí),注意三角板直角的使用。巧記判斷長方體或正方體平面展開圖的原則是相對不相連,相連不相對。方法巧記:1.高級單位的數(shù)轉(zhuǎn)化成低級單位的數(shù),用原數(shù)乘進(jìn)率。2.低級單位的數(shù)轉(zhuǎn)化成高級單位的數(shù),用原數(shù)除以進(jìn)率。易錯(cuò)點(diǎn):1.計(jì)算平行四邊形和三角形的面積時(shí),注意底和高要對應(yīng)。2. a2=aa,2a=2a。3.不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法有割補(bǔ)法、方格法等。易錯(cuò)點(diǎn):表面積和體積是兩種不同的量,無法進(jìn)行比較。如棱長是6厘米的正方體的體積和表面積相等,這一結(jié)論是錯(cuò)誤的。易錯(cuò)點(diǎn):計(jì)算圓錐的體積時(shí),不要忘記乘13。易錯(cuò)點(diǎn):解答實(shí)際問題時(shí),注意水桶沒有上底面、通風(fēng)管沒有兩個(gè)底面等。巧記軸對稱圖形的判斷,先找對稱軸,然后看兩側(cè)圖形能否完全重合。易錯(cuò)點(diǎn):平移和旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小,只是改變位置。易錯(cuò)點(diǎn):1.放大或縮小圖形時(shí),每一條邊同時(shí)放大或同時(shí)縮小。2.放大或縮小后圖形的角度不變。巧記1.地圖上的方位是上北、下南,左西、右東。2.比例尺還可以分為放大比例尺和縮小比例尺。易錯(cuò)點(diǎn):用畫“正”字統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí),一般逐一統(tǒng)計(jì)。易錯(cuò)點(diǎn):選擇統(tǒng)計(jì)圖時(shí),要結(jié)合統(tǒng)計(jì)對象的數(shù)據(jù)特征進(jìn)行選擇。易錯(cuò)點(diǎn):公平性就是指各種情況發(fā)生的可能性相等。易錯(cuò)點(diǎn):注意單位的轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一。易錯(cuò)點(diǎn):正確使用數(shù)量關(guān)系式。易錯(cuò)點(diǎn):注意知識的綜合運(yùn)用與正確使用關(guān)系式