16.1二次根式第一課時(shí)第二課時(shí)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)二次根式有意義的條件和非負(fù)性第一課時(shí)返回電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳播得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣，電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半徑r（單位：km）之間存在近似關(guān)系，其中地球半徑R6400km如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km、h2km，那么它們的傳播半徑之比是.公式中中的表示什么意義？1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意義的條件，能運(yùn)用二次根式的概念求被開方數(shù)中字母的取值范圍.素養(yǎng)目標(biāo)3.會(huì)利用二次根式的雙重非負(fù)性解決相關(guān)問題.用帶根號(hào)的式子填空，看一看寫出的結(jié)果有何特點(diǎn)（1）這些式子分別表示什么意義？分別表示3，S，65，的算術(shù)平方根根指數(shù)都為2被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).（2）這些式子有什么共同特征？在前面的問題中，得到的結(jié)果分別是：，根據(jù)你的理解，猜想一下二次根式的定義應(yīng)該有哪些條件？我們知道，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0的平方根為0；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方的時(shí)候，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.“”稱為二次根號(hào).注意：a可以是數(shù)，也可以是式.歸納總結(jié)例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號(hào)被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：利用二次根式的定義識(shí)別二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）；（7）1.下列各式是二次根式嗎是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是例2當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義解：由x-20，得x2.當(dāng)x2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.【思考】1.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意得x-10，x1.利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍（1）解：被開方數(shù)需大于或等于零，x+30，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3且x1.歸納小結(jié)：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮分母不為零.（2）【思考】2.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)無論x為任何實(shí)數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)無論x為任何實(shí)數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，無論x為任何實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無意義.歸納小結(jié)：被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，需要對(duì)組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.（1）（2）(1)單個(gè)二次根式如有意義的條件：A0；(3)多個(gè)二次根式相加如有意義的條件：(2)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A0且B0.歸納總結(jié)二次根式有意義的條件應(yīng)用的不同類型：2.x取何值時(shí)下列二次根式有意義x1x0（3）（4）x為全體實(shí)數(shù)x0（5）（6）x0 x0 x-1且x2(7)（9）x0 x為全體實(shí)數(shù)(8)【新知思考】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？【回顧思考】二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？因?yàn)閤0，所以x可以為任意實(shí)數(shù).要使x0，必須x0.當(dāng)a0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，因此；當(dāng)a=0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此.這就是說，當(dāng)a0時(shí)，.呢？二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對(duì)于任意一個(gè)二次根式，必須滿足以下兩條：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a0；（2）表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知0.二次根式的雙重非負(fù)性歸納總結(jié)解：由題意可知a+3=0b-2=0c-1=0解得a=-3b=2c=1.所以2a-b+3c=-32-2+31=-5.利用二次根式的雙重非負(fù)性求字母的值例3若，求2a-b+3c的值.提示：多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對(duì)值、偶次冪及二次根式.3.已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根為3.二次根式的雙重非負(fù)性和不等式求字母的值例4已知實(shí)數(shù)x、y滿足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由題意得解得：x=3把x=3代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=644.已知y=求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得x=3，y=8，3x+2y=3328=25.25的算術(shù)平方根為5，3x+2y的算術(shù)平方根為5鞏固練習(xí)C1.（2018揚(yáng)州）使有意義的x的取值范圍是（）Ax3Bx3Cx3Dx3A2.（2019黃石）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx1鞏固練習(xí)3.（2018蘇州）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）ABCDDAD-13.當(dāng)x=____時(shí)，二次根式取最小值，其最小值為______01.下面的式子是二次根式的是()A.B.C.D.a2.（2018達(dá)州）二次根式中的x的取值范圍是（）Ax2Bx2Cx2Dx24.(1)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x1x0且x25.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍解：由題意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，(2)無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍解：由題意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.m2(x+3)20，m-90，即m9.已知a，b為等腰三角形兩條邊長(zhǎng)，且a，b滿足，求此三角形的周長(zhǎng)解：由題意得a=3，b=4.當(dāng)a為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+4+3=11先閱讀，后回答問題：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意得x(x-1)0由乘法法則得解得x1或x0即當(dāng)x1或x0時(shí)，有意義.體會(huì)解題思想后，試著解答：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意得則解得x2或x，即當(dāng)x2或x時(shí)，有意義二次根式定義帶有二次根號(hào)在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，從而建立不等式或不等式組求出其解集.被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式的雙重非負(fù)性二次根式中a0且0二次根式化簡(jiǎn)第二課時(shí)返回【思考】下列數(shù)字誰能順利通過下面兩扇門進(jìn)入客廳？算術(shù)平方根之門平方之門0-4-1aa01【思考】若下列數(shù)字想從客廳出來，誰能順利通過兩扇門出來呢？算術(shù)平方根之門平方之門0-4-111641aa為任意數(shù)【想一想】你發(fā)現(xiàn)了什么？2.會(huì)運(yùn)用二次根式的兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索性質(zhì)=a（a0）和=a（a0）的過程，并理解其意義，體驗(yàn)歸納、猜想的思想方法.（2）什么是一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？（1）什么叫做一個(gè)數(shù)的平方根？如何表示？一般地，若一個(gè)數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.若一個(gè)正數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的算術(shù)平方根.a的平方根是用(a0)表示.（1）填空：（2）通過（1）的思考，你能確定()（a0）的化簡(jiǎn)結(jié)果嗎？說說你的理由.402是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有()=4.同理，分別是的算術(shù)平方根.因此()=2()=()=0的性質(zhì)：一般地，a(a0).即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.歸納：例1計(jì)算：解：積的乘方：（ab）2=a2b2（1）（2）（1）（2）解:（1）（2）解：總結(jié)：本題逆用了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.（1）（2）2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x2-11(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11=(x+)(x-)(2)x4-14x2+49=(x2-7)2=(x-)2(x+)220.10化簡(jiǎn)下列根式，想一想化簡(jiǎn)后，你能確定的化簡(jiǎn)結(jié)果嗎？.平方運(yùn)算算術(shù)平方根20.10.a(a0)2.觀察兩者有什么關(guān)系？填一填：a(a0).平方運(yùn)算算術(shù)平方根-2-0.1.2.觀察兩者有什么關(guān)系？a(a0)【猜一猜】當(dāng)a0時(shí)，=？-aa(a0)-a(a0)即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.歸納：的性質(zhì)：解：警示：而3.14，要注意a的正負(fù)性.(1)(2)(3)(4)【討論】（1）在中，可否去掉“a0”？如果去掉“a0”結(jié)論將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？（2）第二小題中的能否直接使用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？計(jì)算一般有兩個(gè)步驟:去根號(hào)及被開方數(shù)的指數(shù)寫成絕對(duì)值的形式即去掉絕對(duì)值符號(hào)即3.請(qǐng)同學(xué)們快速分辨下列各題的對(duì)錯(cuò)（）（）（）（）374810.610-3【議一議】如何區(qū)別與？從運(yùn)算順序看從取值范圍看從運(yùn)算結(jié)果看先開方后平方先平方，后開方a0a取任何實(shí)數(shù)a|a|意義表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根解：由數(shù)軸可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)你化簡(jiǎn):5.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是.16.實(shí)數(shù)ab在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.bA（1）含有數(shù)或表示數(shù)的字母；（2）用基本運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)或表示數(shù)的字母代數(shù)式的定義用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把或連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.數(shù)表示數(shù)的字母【想一想】到現(xiàn)在為止，初中階段所學(xué)的代數(shù)式主要有哪幾類？代數(shù)式整式分式二次根式歸納：利用代數(shù)式的定義判斷代數(shù)式例5下列式子:(1)x(2)a-b(3)(4)(5)m=1+n(6)2x1(7)-2.其中是代數(shù)式的有()A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)B7.下列式子是代數(shù)式的有()a2+b213x=23（45）x1010 x+5y=15A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)C解：（1）船在這條河中順?biāo)旭偟乃俣仁莐mh，逆水行駛的速度是kmh（2）設(shè)賀卡的長(zhǎng)為5x則寬為3x.依題意得15x2=S，所以所以它的長(zhǎng)為列代數(shù)式歸納總結(jié)列代數(shù)式的要點(diǎn)：要抓住關(guān)鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關(guān)系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數(shù)、相反數(shù)等；理清語句層次明確運(yùn)算順序；牢記一些概念和公式7.如圖，是一個(gè)圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為__________.1.（2019黃岡）計(jì)算的結(jié)果是____鞏固練習(xí)42.（2018無錫）下列等式正確的是（）ABCDA1.（2018臨安區(qū)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A2B2C2D4C2.當(dāng)1x3時(shí)，的值為（）A.3B.-3C.1D.-1D3.在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A.7B.32C.DB4.計(jì)算：解:（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：解：（1）x2-3(2)y4-4y2+4（1）x2-3=(2)y4-4y2+4=(y2-2)2=實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：.解：根據(jù)數(shù)軸可知ba0，a+2b0，a-b0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b已知a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：解：a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，a+b+c0，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c分析：利用三角形三邊關(guān)系三邊長(zhǎng)均為正數(shù)，a+b+c0兩邊之和大于第三邊，b+c-a0，c-b-a0二次根式性質(zhì)拓展性質(zhì)（a為全體實(shí)數(shù)）課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊(cè)練習(xí)