19.2一次函數(shù)19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式人教版數(shù)學(xué)八年級下冊今天數(shù)學(xué)王國搞了個家庭聚會，各個成員按照自己所在的集合就坐，這時來了“x+y=5”.二元一次方程一次函數(shù)x+y=51.認(rèn)識一次函數(shù)與一元（二元）一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯(lián)系2.會用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程和不等式及其解（解集）的意義.素養(yǎng)目標(biāo)3.經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程、不等式解的過程，進(jìn)一步體會“以形表示數(shù)，以數(shù)解釋形”的數(shù)形結(jié)合思想.我們先來看下面兩個問題：（1）解方程2x+20=0.（2）當(dāng)自變量x為何值時函數(shù)y=2x+20的值為0？問題：1.對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么相同和不同？2.從問題本質(zhì)上看，（1）和（2）有什么關(guān)系？一次函數(shù)與一元一次方程作出函數(shù)y=2x+20的圖象.【思考】函數(shù)圖象哪一個點(diǎn)的坐標(biāo)表示函數(shù)值為0與x軸的交點(diǎn)(-100)即當(dāng)x=-10時，函數(shù)y=2x+20的值為0，這說明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).20-10問題(1)解方程2x+20=0，得x=-10.所對應(yīng)的（）為何值？實(shí)質(zhì)上這可以通過解方程2x+20=0得出x=-10.因此，這兩個問題實(shí)際上是同一個問題.問題(2)就是要考慮當(dāng)函數(shù)y=2x+20的值為（）時，自變量x0從圖象上看：【思考】由上面兩個問題的關(guān)系，能進(jìn)一步得到解方程ax+b=0（a，b為常數(shù)）與求自變量x為何值時，一次函數(shù)y=ax+b的值為0有什么關(guān)系？由上面問題可以得到一元一次方程的求解與解相應(yīng)的一次函數(shù)問題相一致.由于任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化ax+b=0(ab為常數(shù)a0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)值y為0時，求相應(yīng)的自變量x的值.從圖象上看這相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.求ax+b=0(ab是常數(shù)，a0)的解x為何值y=ax+b的值為0求ax+b=0(ab是常數(shù)，a0)的解確定直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從數(shù)的角度看從形的角度看一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系1.以下的一元一次方程與一次函數(shù)問題是同一問題當(dāng)x為何值時y=8x+3的值為0解方程-7x+2=0當(dāng)x為何值時y=-5x-5的值為0例1一個物體現(xiàn)在的速度是5米秒，其速度每秒增加2米秒，再過幾秒它的速度為17米秒？(從方程、函數(shù)解析式及圖象三個不同方面進(jìn)行解答)解法1：設(shè)再過x秒它的速度為17米秒，由題意得2x+5=17解得x=6答：再過6秒它的速度為17米秒.利用一次函數(shù)、方程及圖象解答問題解法2：速度y（單位：米秒）是時間x（單位：秒）的函數(shù)y=2x+5由2x+5=17得2x12=0由右圖看出直線y=2x12與x軸的交點(diǎn)為（6，0），得x=6.解法3：速度y（單位：米秒）是時間x（單位：秒）的函數(shù)y=2x+5由右圖可以看出當(dāng)y=17時，x=6.2.當(dāng)自變量x的取值滿足什么條件時，函數(shù)y=2x+8的值滿足下列條件？(1)y=0；(2)y=-8.3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列圖象一定不是直線y=ax+b的是()-2-2-2-2-2ABCDBx=-4；x=-8.解:3個不等式相同的特點(diǎn)是：不等號左邊都是；不同點(diǎn)是：不等號及不等號右邊分別是，.20-1一次函數(shù)與一元一次不等式【討論】你能從函數(shù)的角度對以上3個不等式進(jìn)行解釋嗎？小于-1大于2小于0大于2小于0小于-1歸納總結(jié)因?yàn)槿魏我粋€以x為未知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為ax+b0或ax+b0（a0）的形式，所以解一元一次不等式相當(dāng)于在某個一次函數(shù)y=ax+b的值或時求自變量x的.取值范圍大于0小于0求kx+b0(或0）(k0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0時，x的取值范圍從“函數(shù)值”看求kx+b0(或0）(k0)的解集確定直線y=kx+b在x軸上方(或下方)的圖象所對應(yīng)的x取值范圍從“函數(shù)圖象”看一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系4.已知函數(shù)y=x-3當(dāng)x時，y0當(dāng)x時，y0.335.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則不等式kx+b0的解集是（）Ax-2Bx-2Cx-1Dx-1By=kx+b例2畫出函數(shù)y=-3x+6的圖象，結(jié)合圖象求：（1）不等式-3x+60和-3x+60的解集（2）當(dāng)x取何值時，y3解：作出函數(shù)y=-3x+6的圖象，如圖所示，圖象與x軸交于點(diǎn)B(2，0).xOB(20)A(06)y利用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式解：（1）由圖象可知，不等式-3x+60的解集是圖象位于x軸上方的x的取值范圍即x2；xOB(20)A(06)(13)y（2）由圖象可知，當(dāng)x1時，y3.（1）不等式-3x+60和-3x+60的解集（2）當(dāng)x取何值時，y36.如圖，已知直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)(-40)，則當(dāng)y0時，x的取值范圍是（）A.x-4B.x0C.x-4D.x0C1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，以1mmin的速度上升與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5mmin的速度上升兩個氣球都上升了1h(1)請用解析式分別表示兩個氣球所在位置的海拔y(m)與氣球上升時間x(min)的函數(shù)關(guān)系氣球1海拔高度：y=x+5；氣球2海拔高度：y=0.5x+15解:一次函數(shù)與二元一次方程組【討論】一次函數(shù)與二元一次方程有什么關(guān)系？一次函數(shù)二元一次方程從式子（數(shù)）角度看：由函數(shù)圖象的定義可知：直線y=0.5x+15上的每個點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都能使等式y(tǒng)=0.5x+15成立，即直線y=0.5x+15上的每個點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程y=0.5x+15的解.【討論】從形的角度看，一次函數(shù)與二元一次方程有什么關(guān)系？從數(shù)的角度看：就是求自變量為何值時，兩個一次函數(shù)y=x+5，y=0.5x+15的函數(shù)值相等，并求出函數(shù)值(2)什么時刻，1號氣球的高度趕上2號氣球的高度？這時的高度是多少？請從數(shù)和形兩方面分別加以研究.氣球1海拔高度：y=x+5氣球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程組的解就是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy從形的角度看，二元一次方程組與一次函數(shù)有什么關(guān)系？歸納總結(jié)一般地，任何一個二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k0)的形式，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線方程組的解對應(yīng)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).觀察函數(shù)圖象，直接回答下列問題：（1）在什么時候，1號氣球比2號氣球高？（2）在什么時候，2號氣球比1號氣球高？氣球1海拔高度：y=x+5氣球2海拔高度：y=0.5x+15（1）20min后，1號氣球比2號氣球高.（2）020min時，2號氣球比1號氣球高.例3如圖，求直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo).分析：由函數(shù)圖象可以求直線l1與l2的解析式，進(jìn)而通過方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo).利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組解：因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)(-1，0)，(0，2)，用待定系數(shù)法可求得直線l1的解析式為y=2x+2.同理可求得直線l2的解析式為y=-x+3.即直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為7.如圖，一次函數(shù)y=ax+b與y=cx+d的圖象交于點(diǎn)P，則方程組的解是多少？解：此方程組的解是123-1-2-3-1-3-4-52O-214-6xyPy=ax+by=cx+d1.（2018呼和浩特）若以二元一次方程x+2yb=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線上，則常數(shù)b=（）AB2C1D1鞏固練習(xí)B2.（2019遵義）如圖所示，直線l1：與直線l2：交于點(diǎn)P（2，3），不等式的解集是（）Ax2Bx2Cx2Dx2A1.直線與x軸的交點(diǎn)是（）A（0，-3）B（-3，0）C（0，3）D（0，-3）2.方程的解是，則函數(shù)在自變量x等于時的函數(shù)值是8.Bx=223.直線在坐標(biāo)系中的位置如圖，則方程的解是x=___.-204.根據(jù)圖象，你能直接說出一元一次方程的解嗎？解：由圖象可知x+3=0的解為x=3從“形”上看直線y=x+3的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-30），這說明方程x30的解是x=-3.05.當(dāng)自變量取何值時，函數(shù)與的值相等？這個函數(shù)值是多少？解：由已知可得：2.5x+1=5x+17解得：x=-6.4y=5(-6.4)+17y=-156.用函數(shù)圖象來解決5x+63x+10.解：化簡，得2x-40.畫出直線y=2x-4的圖象.可以看出，當(dāng)x2時，這條直線上的點(diǎn)在x軸的上方，即這時y=2x-40.所以不等式的解集是x2.一次函數(shù)y1=4x+5與y2=3x+10的圖象如圖所示則4x+53x+10的解集是（）A.x5C.x-5D.x251B直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是方程的解，求a的值.解：由題意可得：當(dāng)直線y=3x+6與x軸相交時，y=0則3x+6=0解得：x=-2當(dāng)x=-2時，2(-2)+a=0解得：a=4一次函數(shù)與方程、不等式解一元一次方程對應(yīng)一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值，即一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解一元一次不等式對應(yīng)一次函數(shù)的函數(shù)值大（小）于0時，求自變量的取值范圍，即在x軸上方(或下方)的圖象所對應(yīng)的x取值范圍.解二元一次方程組求對應(yīng)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)