雀巢問題 ”教學設計【教學內容】義務教育課程標準實驗教科書數學六年級下冊第68-69頁?！窘滩姆治觥盔澇矄栴}既鴿巢原理又稱抽屜原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狄利克雷明確提出來的，因此，也稱為狄利克雷原理。首先，用具體的操作，將抽象變為直觀。“總有一個筒至少放進2支筆”這句話對于學生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解。通過枚舉法，使學生探索出把四支筆放在3個筆筒里共四種放法，在具體操作中理解“總有”和“至少”。通過假設法讓學生探索出“平均分”是保證“至少”的最好方法，在解決抽屜原理時要采取最不利原則。通過操作，最直觀地呈現“總有一個筒至少放進2支筆”這種現象，讓學生理解這句話。其次，充分發揮學生主動性，讓學生在證明結論的過程中探究方法，總結規律。學生是學習的主動者，特別是這種原理的初步認識，不應該是教師牽著學生去認識，而是創造條件，讓學生自己去探索，發現。所以我認為應該提出問題，讓學生在具體的操作中來證明他們的結論是否正確，讓學生初步經歷“數學證明”的過程，逐步提高學生的邏輯思維能力。再者，適當把握教學要求。我們的教學不同奧數，因此在教學中不需要求學生說理的嚴密性，也不需要學生確定過于抽象的“鴿巢”和“物體”。第一個例題教學，介紹了較簡單的“鴿巢問題”：只要物體數比鴿巢數多，總有一個鴿巢至少放進2個物體。它意圖讓學生發現這樣的一種存在現象：不管怎樣放，總有一個筒至少放進2支筆。呈現兩種思維方法：一是枚舉法，羅列了擺放的所有情況。二是假設法，用平均分的方法直接考慮“至少”的情況。通過前一個例題的兩個層次的探究，讓學生理解“平均分”的方法能保證“至少”的情況，能用這種方法在簡單的具體問題中解釋證明。第二個例題是在例1的基礎上說明：只要物體數比鴿巢數多，總有一個鴿巢里至少放進(商+1)個物體。因此我認為例2的目的是使學生進一步理解“盡量平均分”，并能用有余數的除法算式表示思維的過程?！緦W情分析】對于六年級的學生來說，有一定的抽象思維能力，所以不易過多地采用枚舉法，在開始探索階段可以采用，但在課的后階段要重點發揮學生地抽象思維能力，通過學生的不斷練習和深化促進“模型化”，形成解決鴿巢問題的一般解法。在教學中我們會發現有一部分學生已經了解了鴿巢問題，他們在具體分得過程中，都在運用平均分的方法，也能就一個具體的問題得出結論。但是這些學生中大多數只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。還有部分學生完全沒有接觸，所以他們可能會認為至少的情況就應該是“1”。我們也應該看到有個別學困生對于本節課的學習確有相當在的困難。這就要求教師在設計和教學中恰當引導，發揮合作學習的作用，順利完成本節課的任務，讓學生們一起成長?！窘虒W目標】1、知識與技能：了解“鴿巢問題”的特點，理解“鴿巢原理”的含義。使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。 2、過程與方法：經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數形結合的思想。 3、情感、態度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發學生的學習興趣，使學生感受數學的魅力。 【突破方法】 從特殊的例子到一般的例子，讓學生逐步理解鴿巢原理，并建立起數學模型?！倦y點】 理解鴿巢原理，并對一些簡單的問題加以“模型化”。【教學重點】1.經歷“雀巢原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。2.理解“雀巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”?！窘谭ā?教師指導下的自主探究，進行“建模”教學?！緦W法】 學生通過動手操作、交流探究、建立模型理解鴿巢原理?！窘叹摺W具準備】智慧教室一間，分11個小組，每組3只紙杯、4只鉛筆、課件?！窘虒W過程】 一、談話引入新課。師：同學們，老師手里有一副撲克牌，老師就用這副撲克牌和同學們一起做一個游戲好不好？老師這副撲克牌里的大王、小王都已經抽掉了，還剩多少張？想一想，還剩下幾種花色？老師把它寫下來，有梅花、紅桃、黑桃、方片。下面我把游戲規則說一下：如果你抽到你想要的花色，就算你贏，聽明白了嗎？（聽明白了）請問你想要什么花色？我想要黑桃。學生抽牌。師：他抽到的是紅桃。請問你想要什么花色？上面四個同學都沒有抽到自己想要的花色。如果同學們給老師一個機會，老師敢說第一次就能贏，相信不相信？現在我請5位同學參與我這個游戲。請你們每人抽一張牌，不要讓老師看見了。老師現在還需要一個記錄員，誰來當？老師敢說：至少有一個花色是重復的，相信不相信？生：不相信?，F在我們驗證一下。有的同學說是巧合，再找5個同學試一試。這兩次游戲老師輕松取得了勝利，你們想不想知道其中的奧秘？今天學習了抽屜原理，也就是鴿巢問題，它能夠幫助我們揭開謎底，找到答案。出示課題：鴿巢問題（抽屜原理）。鴿巢問題是一個復雜的問題，我們進行一個復雜的研究往往從簡單的問題入手。下面我們分小組進行探究實踐活動。二、通過操作，探究新知（一）教學例11枚舉法（1）第一個探究活動?；顒觾热荩喊?枝鉛筆放進3個筆筒里?；顒幽康模簾o論怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。（課件顯示）（2）我們的活動目的是什么？你認為哪些詞語非常重要？學生：“總有”和“至少”師：他們是什么意義？生：“總有”表示“一定有”、“ 肯定有”等“至少”表示“最少”、“ 最起碼”。（3）強調不考慮放入的順序我們把4支鉛筆放在第一個筆筒里，也可以放在第二個筆筒里，也可以放在第三個筆筒里。我們把這三種情況當做一種放法。咱們在探究時要注意：1、不考慮筆筒的順序。2、組長把操作的結果記錄下來，并拍照上傳。出示 溫馨提示：1、不考慮筆筒的順序。2、組長把操作的結果記錄下來，并拍照上傳?，F在我們在組長的帶領下進行探究活動。（4）出示探究記錄單 鴿巢問題探究記錄單第 小組，姓名： 把4支鉛筆放進3個筆筒中。出現情況記錄單第一種情況4（ 、 、 ）第二種情況第三種情況第四種情況無論怎樣去放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。（5）學生分組活動。（運用智慧教室，要先分好組，指定組長）有幾種不同的放法？請同學們分組活動，并及時把活動過程記錄下來。（評測分組答題）下面開始小組活動。教師巡視，了解情況，個別指導.（6）學生匯報探究結果。通過“智慧教室”系統，展示各小組的“探究記錄單”。(評測分組答題-答題結果-分享學生屏)。（7）哪個小組來展示一下你們小組擺放的情況？(評測分組答題-分享學生屏)共同分析（2，0,2），（2,2，0）（0,2,2），屬于一種情況。（8）根據學生擺的情況，老師按照一定順序排列起來。板書各種情況。（4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）還有不同的放法嗎？我們把這種放法，叫做枚舉法，我們在五年級學習雞兔同籠時采用過枚舉法。（9）為了幫助同學們有序地思考，看看電腦博士是怎樣分放的。電腦依次展示四種情況。第一種情況:把4支筆都放進一個筆筒里。第二種情況:先把3支筆放進一個筆筒里。第三種情況:先把2支筆放進一個筆筒里。第四種情況:每個筆筒先放1支筆。（10）教師帶著學生分析每個筆筒里最多放了多少支？（4支）能不能說總有一個筆筒里至少有4支筆？最多放有4支筆，能不能保證至少是4支？最少放了多少支？（0支）在每種放得最多的四個筆筒里最少幾支？（2支）能不能說至少放了1支筆？（至少是最起碼，最低限度的意思，總有一個筆筒里至少放了2支筆。）你發現了什么？（無論怎么放，總有一個筆筒里至少放進2支筆）至少數是多少？（2）2、假設法遇到鴿巢問題是否一定要把各種情況采取枚舉法一一列舉出來？如果有100支鉛筆把所有情況枚舉出來將會非常麻煩。怎樣才能最快地知道這個放的最多的筆筒里至少有幾支筆？大家討論討論。學生討論，匯報。生：先把3支鉛筆分別放在三個筆筒里，剩下一個無論放在哪個筆筒里，總有一個筆筒放進兩只筆。這是什么分法？（平均分）你從什么角度考慮的？電腦顯示：從最不利的情況來考慮，先放入相同的最多數。相同的最多數是什么？（平均數）至少數相當于從軍官中挑選元帥。誰能再把自己的想法介紹給大家？剛才大家使用的方法就是假設法。講解假設法的思維過程。假設每個筆筒里先放1支鉛筆，最多放3支，剩下的1支無論放進哪個筆筒里，總有一個筆筒里至少放2支筆。把上述利用“智慧教室”推到學生的平板上。（屏幕板書-推送板書學生在數學筆記）學生共同朗讀，熟悉掌握算理。3、導入鴿巢問題我們把4枝鉛筆換成4只鴿子，把3個盒子換成3個鴿巢，這就是我們要研究的鴿巢問題。出示：4只鴿子飛回3個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進了（ ）只鴿子。誰能解答這個問題？學生搶答。（快捷-搶答權）學生回答后課件演示。4、商是1余數是1的練習（1）把5支筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進（ ）支筆，為什么？指名回答。（快捷-搶答權）電腦顯示假設法：假設每個筆筒里先放1支筆，最多可放4支。剩下的1支還要放進其中的一個筆筒里。所以不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進2支筆。填入黑板左面的副版書的表格上鉛筆支數筆筒個數至少數54254=1 1652（2）把6支筆放進5個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進（ ）支筆，為什么？利用智慧教室搶答。（快捷-搶答權）（3）把10支筆放進9個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進（ ）支筆，這是為什么？（快捷-搶答權）（4）把101支筆放進100個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進（ ）支筆，這是為什么？（快捷-隨機選號）5、總結規律觀察表格，有什么發現？只要放的鉛筆數比筆筒的數量多1，總有一個筆筒里至少放進2枝筆。如果有n+1支筆放入n個筆筒里，會出現什么情況？把n+1個物體放進n個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進2個物體。6、老師魔術的秘密一副牌，取出大小王，5位同學每人隨意抽出一張。為什么至少有2張同花色的？學生解答，課件演示（二）教學例2，商是2的情況。剛才我們探究的是鴿巢問題的一種情況，下面探究探究鴿巢問題的另一種復雜情況。出示例2把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜至少放（ ）本書。 （1）請同學們在學生平板教材中打開探究二，根據要求，進行拖動，找出答案。指名回答，展示學生的拖動過程。（屏幕互動學生屏幕）如何列式？73=21 2+1=3（支）至少數是什么？板書：至少數=商+余數（2）8本書放進3個抽屜里，會怎么樣呢？8322師：至少數=商+余數=2+2=4，所以總有一個抽屜里至少放4本書。對不對？學生:老師我有不同意見，至少數是3，不是4。師：你能上來擺一擺嗎？學生在講臺上邊展示邊講解。至少數是：2+1=3。師：有沒有可能是4？能不能保證是4本？那么，至少數應該怎樣計算？原來是這么回事，看來板書也要改了。至少數=商+1.（3）如果10枝本呢？103=31 ，3+1=4 （4）如果有11支呢？（5）如果有12支呢？12 34，有沒有余數，那么至少數是什么？生：至少數=商（三）、課堂總結抽屜問題一般公式同學們我們研究了筆筒、抽屜、鴿巢、四種花色等相當于抽屜。鉛筆、鴿子、書等這些都是物體數。能不能用一個計算公式表示物體數與抽屜數之間的關系？至少數是什么？物體數抽屜數商余數至少數=商1（四）、數學史教育1、出示：“抽屜原理”是組合數學中的一個重要原理，最先是由德國數學家狄利克雷提出并用于解決數論中的問題，所以又稱“狄利克雷原理”。有兩個經典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理又稱“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以也稱“鴿巢原理”2、推送板書：推送到學生平板里，齊讀，進一步理解鴿巢問題。（五）、拓展提高現在老師遇到一個復雜的抽屜問題，請同學們幫助解決。出示：從馬路上隨意找13個人，他們中至少有2個人的屬相相同。為什么？說一說誰是裝東西的？誰是被裝的？12個屬相可以看做什么？13個人相當于什么？1312=1 11+2=2三、課堂總結與提高1、教學鴿巢問題一般公式同學們，剛才我們用到了筆筒、抽屜、鴿巢，還有撲克牌的四種花色，12個屬相，這些都相當于抽屜，也就是裝東西的，我們統一地把他們叫做抽屜數。鉛筆、蘋果、鴿子、人數，這些都是被裝的，我們把他們稱為物體數。鴿巢問題的一般公式可以怎么表示？物體數抽屜數商余數不能整除時：“至少數=商數+1”整除時：“至少數=商數”2、鴿巢問題的解題關鍵你認為鴿巢問題解題的關鍵是什么？（1）找準哪個是 物體,也就是被裝的（2）哪個是抽屜，也就是裝東西的（3）它們的個數。3、在有余數時至少數等于商加1，在沒有余數的情況下，至少數等于商。出示：有余數時：物體數抽屜數=商余數至少數=商+1無余數時：物體數抽屜數=商至少數=商4、今天我們學習了鴿巢問題，就是課本第68、69的內容，請大家課本，有沒有不明白的問題？學生看課本第68、69頁。四、鞏固提升1、基本練習搶答題（采用“智能教室”搶答系統）（1）5只鴿子飛進了3個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了（ ）只鴿子。為什么？（快捷-搶答）（2）2. 11只鴿子飛進了4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了（ ）只鴿子。為什么？（快捷-搶答）（3） 5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。為什么？（快捷-隨意選號）2、課堂過關練習全體學生在平板上完成，教師電腦及時顯示進度與答題情況。一題一題顯示學生答題情況，及時進行講評。（采用“智能教室”的“全部答題”系統，及時顯示學生的學習進度，完成情況）（1）、從馬路上隨意找25個人，他們中至少有（ ）的屬相相同？為什么？（2）、從電影院隨意找24個人，他們中至少有（ ）的生日在同一個月？（3）、向東小學六年級共有367名學生，六年級里至少有（ ）人的生日是同一天？學生獨立完成，電腦及時顯示全體學生的答題情況。五、中國數學史教育早在我國古代，就有不少成功運用抽屜原理來分析解決問題的例子。例如宋代費袞（gun）的梁谿(xi)漫志中，就曾運用抽屜原理來批駁“算命”一類活動的謬論。然而，令人不無遺憾的是：我國學者雖然很早就會用抽屜原理來分析問題，但沒有關于抽屜原理的概括性文字，沒有人將它抽象為一條普通原理，最后還不得不將這一原理冠以數百年以后西方學者狄里克雷的名字。同學們你們有什么想法？六、全課反思通過本節課的學習，你有什么收獲？還有什么不懂的地方？ 數學知識：1.鴿巢問題；2.“物體數抽屜數=商數余數”有余數時：物體數抽屜數=商余數至少數=商+1無余數時：物體數抽屜數=商至少數=商數學方法：1.枚舉法；2.假設法數學思想：1.數形結合；2.數學建模。板書設計主板書：鴿巢問題（抽屜原理）梅花 方片 黑桃 紅桃枚舉法：4（4，0，0）4（3，1，0）4（2，2，0）4（1，1，1）假設法：43=1 1 1+1=2物體數抽屜數=商 余數至少數=商+1副版書：鉛筆數筆筒數至少數43254265265=1 1 1+1=21092105=1 1 1+1=21011002n+1n273373=2 1 2+1=383383=2 2 2+1=31034103=3 1 3+1=41134123412