26.2實際問題與反比例函數1.能夠根據具體實際問題情景確定變量之間的反比例關系,并求出反比例函數解析式.2.能靈活運用反比例函數的意義和性質解決相關的實際問題.3.能綜合運用幾何、方程、不等式、反比例函數知識以及物理等跨學科知識解決相關的實際問題.1.經歷利用反比例函數解決實際問題的過程,學會用數學的思想方法去觀察、研究和解決日常生活中所遇到的問題,體驗數學建模的思想.2.體會數學與實際生活緊密聯系,經歷將實際問題抽象為數學問題的過程,體會數學中轉化和數形結合的思想.3.經歷“實際問題建立模型求解模型拓展應用”的過程,增強學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力.1.通過將反比例函數的有關知識靈活應用于實際,讓學生體會到學習數學的價值,從而提高學生學習數學的興趣,并獲得成就感.2.通過小組合作交流學習,共同探究反比例函數在實際中的應用,提高合作意識,培養創新精神.【重點】從實際問題中建立反比例函數模型,運用反比例函數的意義和性質解決生活實際問題和跨學科問題.【難點】根據實際問題情景建立反比例函數的數學模型.第課時1.能夠根據實際問題情景建立反比例函數的模型.2.能靈活運用反比例函數的意義和性質解決生活實際問題.1.通過探究生活中的實際問題,讓學生體會數學建模思想的構建.2.通過探究反比例函數解決實際問題,體會數學知識的現實意義,提高分析問題、解決問題的能力,培養數學應用意識.1.通過將反比例函數的性質靈活應用于實際,讓學生體會學習數學的價值,從而提高學生學習數學的興趣.2.通過小組合作交流,提高合作意識,培養創新精神.3.讓學生體會數學知識與現實世界的聯系.【重點】從實際問題中建立反比例函數模型,運用反比例函數的意義和性質解決實際問題.【難點】根據具體實際問題情景建立反比例函數的模型.導入一:【復習提問】1.我們學習了反比例函數的哪些內容?完成下列填空:(1)反比例函數的定義是.(2)反比例函數的圖象是,當k0時,；當k0時,t越小,v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完,則平均每天至少要卸載48噸.解法2:(2)由v=240t,得t=240v.因為t5,所以240v5,又v0,所以2405v,解得v48.解法3:(2)畫出函數v=240t(t0)的圖象,當t=5時,v=48.根據反比例函數圖象的性質,在第一象限內,v隨t的增大而減小,所以當00),所以該函數的圖象為雙曲線在第一象限內的一支.故選C.2.A解析:由題意知2xy=20,所以y=10x(2x10),反比例函數圖象在第一象限內,并且y隨x的增大而減小,當x=2時,y有最大值為5,當x=10時,y有最小值為1.故選A.3.y=2x(x0)解析:根據等量關系:長寬=矩形面積,得xy=2,所以y與x之間的函數解析式為y=2x,根據x的實際意義知x應大于0.故填y=2x(x0).4.解:(1)將(40,1)代入t=kv,得1=k40,解得k=40,所以函數解析式為t=40v.當t=0.5時,0.5=40m,解得m=80,所以k=40,m=80.(2)令v=60,得t=4060=23,結合函數圖象可知,汽車通過該路段最少需要23 h.第1課時1.共同探究一2.共同探究二3.共同歸納一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.下列各問題,兩個變量之間的關系不是反比例關系的是()A.小明完成100 m賽跑時,時間t(s)與他跑步的平均速度v(m/s)之間的關系B.菱形的面積為48 cm2時,它的兩條對角線的長y(cm)與x(cm)之間的關系C.一個玻璃容器的容積為30 L時,所盛液體的質量m與所盛液體的密度之間的關系D.壓力為600 N時,壓強p與受力面積S之間的關系2.為了更好保護水資源,造福人類,某工廠計劃建一個容積V(m3)一定的污水處理池,池的底面積S(m2)與其深度h(m)滿足關系式:V=Sh(V0),則S關于h的函數圖象大致是()3.某廠現有300噸煤,這些煤能燒的天數y與平均每天燒的噸數x之間的函數解析式為()A.y=300x(x0)B.y=300x(x0)C.y=300x(x0)D.y=300x(x0)4.已知矩形的面積為36 cm2,相鄰的兩條邊長為xcm和y cm,則y與x之間的函數圖象大致是()5.長方體的體積為103 m3,底面積為S,高度為d,則S與d之間的函數關系式為；當S=500時,d=.6.某一蓄水池的排水速度v(m3/h)與排完水池中的水所用的時間t(h)之間的函數關系圖象是一支雙曲線,圖象過點(4,12),則此函數的解析式為.7.現有一批賑災物資從A市運往B市,如果兩市之間的路程為500 km,車的速度是x km/h,從A市運往B市所用的時間是y h,那么y與x之間的函數解析式是,且y是x的.8.將油箱注滿k升油后,轎車行駛的總路程s(單位:千米)與平均耗油量a(單位:升/千米)之間是反比例函數關系s=ka(k是常數,k0).已知某轎車油箱注滿油后,以平均耗油量為每千米耗油0.1升的速度行駛,可行駛700千米.(1)求該轎車可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數解析式.(2)當平均耗油量為0.08升/千米時,該轎車可以行駛多少千米?【能力提升】9.一個容積為180升的太陽能熱水器,工作時間是y分鐘,每分鐘的排水量為x升,則y與x之間的函數解析式為,若熱水器持續工作最長時間為1小時,則自變量x的取值范圍是.10.一塊長方體大理石板的A,B,C三個面上的邊長如圖所示(單位:米),如果大理石板的A面向下放在地上時地面所受壓強為m帕,則把大理石板B面向下放在地上,地面所受壓強是m帕.11.某商場出售一批進價為2元的賀卡,在市場營銷中發現此商品的日銷售單價x(單位:元)與日銷售量y(單位:個)之間有如下關系:日銷售單價x/元3456日銷售量y/個20151210(1)根據表中數據試確定y與x之間的函數關系式,并畫出圖象；(2)設經營此賀卡的銷售利潤為W元,求出W與x之間的函數關系式.若物價局規定此賀卡的單價最高不能超過10元,請你求出當日銷售單價x定為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤.【拓展探究】12.“保護生態環境,建設綠色社會”已經從理念變為人們的行動.某化工廠2018年1月的利潤為200萬元.設2018年1月為第1個月,第x個月的利潤為y萬元.由于排污超標,該廠決定從2018年1月底起適當限產,并投入資金進行治污改造,導致月利潤明顯下降, 從1月到5月,y與x成反比例.到5月底,治污改造工程順利完工,從這時起,該廠每月的利潤比前一個月增加20萬元(如圖).(1)分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后y與x之間對應的函數表達式.(不用寫出自變量取值范圍)(2)治污改造工程完工后經過幾個月,該廠月利潤才能達到2018年1月的水平?(3)當月利潤少于100萬元時為該廠資金緊張期,則該廠資金緊張期共有幾個月?13.某藥品研究所開發一種抗菌新藥,經多年動物實驗,首次用于臨床人體實驗.測得成人服藥后血液中藥物濃度y (微克/毫升)與服藥時間x(時)之間的函數關系如圖(當4x10時,y與x成反比).(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式；(2)血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間為多少小時?【答案與解析】1.C解析:根據各小題中兩個變量之間的關系列出函數關系式,解析式符合y=kx(k0)的形式即為反比例函數.函數關系式為t=100v,是反比例函數,A正確；函數關系式為12xy=48,y=96x,是反比例函數,故B正確；函數關系式為m=30,是正比例函數,C錯誤；函數關系式為p=600S,是反比例函數,D正確.故選C.2.C解析:由題意可得S=Vh,且h0,所以S關于h的函數圖象是在第一象限內的反比例函數圖象.故選C.3.A解析:根據題意得xy=300,所以y=300x,且x0.故選A.4.A解析:根據題意,得xy=36,即y=36x(x0),是一個反比例函數.故選A.5.S=103d2解析:因為體積V=Sd,所以S=Vd=103d,把S=500代入函數解析式得d=2.故填S=103d,2.6.v=48t(t0)解析:設函數解析式為v=kt,把(4,12)代入函數解析式得k=412=48,所以所求的函數解析式為v=48t.故填v=48t(t0).7.y=500x(x0)反比例函數解析:根據路程=速度時間,得xy=500,所以y=500x(x0),y是x的反比例函數.8.解:(1)由題意得a=0.1,s=700,代入反比例函數關系式,解得k=sa=70,函數關系式為s=70a.(2)將a=0.08代入s=70a得s=70a=700.08=875,故該轎車可以行駛875千米.9.y=180xx3解析:工作時間y(分)每分鐘的排水量x(升)=總容量,所以可得出y與x的解析式為y=180x,熱水器可連續工作的最長時間為1小時,即00),圖象略.(2)W=(x-2)y=-120x+60,因為00),將(8,6)代入得6=8k1,k1=34.設藥物燃燒后y關于x的函數關系式為y=k2x(k20),將(8,6)代入得6=k28,k2=48,藥物燃燒時y關于x的函數關系式為y=34x(0x8),藥物燃燒后y關于x的函數關系式為y=48x(x8).(2)結合實際,令y=48x中y=1.6得x=30,即從消毒開始,至少經過30分鐘后學生才能進入教室.(3)把y=3代入y=34x,得x=4；把y=3代入y=48x,得x=16.16-4=1210,這次消毒是有效的.第課時1.能根據與其他學科聯系的公式確定反比例關系,并求出反比例函數的解析式.2.能夠根據實際問題情景建立反比例函數的模型,解決與其他學科知識相聯系的問題.1.通過探究與其他學科相聯系的實際問題,讓學生體會數學建模思想的構建.2.通過探究反比例函數解決實際問題,體會數學知識的現實意義,提高分析問題、解決問題的能力,培養數學應用意識.1.通過將反比例函數知識靈活應用于其他學科,讓學生體會學習數學的價值,從而提高學生學習數學的興趣.2.通過小組合作交流,提高合作意識,培養創新精神,同時感受數學模型思想在實際問題中的應用價值.【重點】利用反比例函數的知識解決跨學科問題.【難點】根據實際問題情景建立反比例函數的數學模型.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】預習教材P1415.導入一:【復習提問】(1)反比例函數y=6x的圖象形狀、位置、增減性是怎樣的?當x=3時,y=；當y=3時,x=.(2)結合一個反比例函數實例,說說反比例函數兩個變量之間的關系.【師生活動】教師出示問題后,學生獨立思考回答,教師點評.導入二:有一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的二氧化碳,當改變容器的體積時,氣體的密度也會隨之改變,密度(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數,它的圖象如圖所示,當V=2 m3時,氣體的密度是多少?【導入語】數學與物理、化學學科緊密相連,如何用數學知識解決這樣的物理、化學問題,通過今天的學習,我們可以輕松解決.導入三:“給我一個支點,我可以撬動地球”是古希臘科學家阿基米德說的一句話,他發現若杠桿上的兩物體與支點的距離和其重量成反比,則杠桿平衡.后來人們把它歸納為“杠桿原理”.通俗地說,杠桿原理為:阻力阻力臂=動力動力臂.當阻力和阻力臂不變,動力與動力臂有怎樣的函數關系?設計意圖通過復習反比例函數的圖象和性質,理解反比例函數兩個變量之間的關系,為本節課的例題學習做好準備.以物理學科中密度問題導入新課,讓學生體會數學與物理學科密切相關,由科學家阿基米德著名的杠桿原理導入新課,為本節課的例題提供理論依據,同時激發學生學習的興趣.過渡語應用杠桿原理,可以解決與杠桿有關的實際問題,讓我們一起探究下邊和杠桿有關的實際問題吧!一、共同探究一【課件展示】小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1200 N和0.5 m.(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5 m時,撬動石頭至少需要多大的力?(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂l至少要加長多少?思路一教師引導學生思考回答下列問題.(1)杠桿原理中的等量關系是什么?(2)阻力和阻力臂一定時,其乘積是常數,動力F與動力臂l有怎樣的函數關系?(3)如何求動力F與動力臂l之間的函數解析式?(4)當自變量l=1.5時,你能否求出對應的函數值F?(5)在動力F與動力臂l的函數關系中,函數值隨自變量的增大怎樣變化?(6)“動力F不超過題(1)中所用力的一半”的含義是什么意思?(7)你能結合函數圖象,用方程思想求解(2)嗎?(8)你還能用不等式等其他方法求解(2)嗎?【師生活動】學生在教師提出的問題引導下,思考并回答問題,教師點評答案,及時糾正學生回答中的錯誤,然后學生完成解題過程,教師通過課件展示解題過程.思路二獨立完成下列填空后,嘗試解答該題.“杠桿原理”是,即Fl=,故F與l之間的函數解析式為,所以當l=1.5 m時,F=.“動力F不超過題(1)中所用力的一半”即F ,因為函數F隨自變量l增大而,所以動力臂至少為m,即動力臂至少要加長m.【師生活動】學生獨立思考后嘗試完成該題的解答,然后小組內成員對解答過程和解題思路進行討論交流,教師在巡視過程中對學生的困難給予幫助,及時發現小組中不同的解題方法,并示意板書解題過程,對學生的板書點評指導.解:(1)根據“杠桿原理”,得Fl=12000.5,所以F關于l的函數解析式為F=600l.當l=1.5 m時,F=6001.5=400(N).對于函數F=600l,當l=1.5 m時,F=400 N,此時杠桿平衡.因此,撬動石頭至少需要400 N的力.(2)對于函數F=600l,F隨l的增大而減小.因此,只要求出F=200 N時對應的l的值,就能確定動力臂l至少應加長的量.當F=40012=200時,由200=600l得:l=600200=3,3-1.5=1.5(m).對于函數F=600l,當l0時,l越大,F越小.因此,若想用力不超過400 N的一半,則動力臂至少要加長1.5 m.另解:由F=600l得l=600F,因為F200,所以l3,3-1.5=1.5(m),所以若想用力不超過400 N的一半,則動力臂至少要加長1.5 m.【追加思考】此題利用反比例函數知識解釋:為什么使用撬棍時,動力臂越長越省力?【師生活動】學生思考后小組討論交流,教師點評得出結論:對于函數F=600l,當l0時,F隨l的增大而減小,所以使用撬棍時,動力臂越長越省力.設計意圖本例利用數學知識解決物理問題,讓學生感受數學知識在物理中的應用,促使學生主動嘗試從數學的角度運用所學知識尋求解決問題的方法策略,培養學生建模思想的構建,提高學生解決問題的能力和應用意識.二、共同探究二【課件展示】一個用電器的電阻是可調節的,其范圍為110220 ,已知電壓為220 V,這個用電器的電路圖如圖.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數關系?(2)這個用電器的功率的范圍是多少?思路一教師引導學生分析:(1)電學知識中,用電器的功率P(W)、電阻R()、兩端的電壓U(V)之間的等量關系式是PR=,也可以寫成P=,或R=.(2)由(1)得功率P與電阻R之間的關系為.(3)由反比例函數性質可得功率P隨著電阻R的增大而.(4)當電阻最小R=110 時,功率有最值,P=,當電阻最大R=220 時,功率有最值,P=,所以用電器功率的范圍是.【師生活動】學生在教師的問題的引導下思考回答問題,然后完成解題過程,小組代表板書,教師對學生的回答給予評價和指導,并對學生的板書過程進行點評.解:(1)根據電學知識,當U=220時,得P=2202R.(2)根據反比例函數性質可知,電阻越大,功率越小.把電阻的最小值R=110代入P=2202R,得到功率的最大值,P=2202110=440(W)；把電阻的最大值R=220代入P=2202R,得到功率的最小值,P=2202220=220(W).因此用電器功率的范圍為220440 W.思路二【思考】(1)電學知識中,用電器的功率P(W)、電阻R()、兩端的電壓U(V)之間的等量關系是什么?(2)你能根據上邊的等量關系寫出功率P與電阻R之間的函數解析式嗎?(3)根據反比例函數性質,功率P隨電阻R的增大怎樣變化?(4)當電阻R取最小值時,對應的函數值P有最小值還是最大值?當電阻R最大時呢?(5)自變量R的取值范圍是什么?對應的函數值P的取值范圍是什么?【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同探究解題過程,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的展示進行點評.【追問】為什么收音機的音量、某些臺燈的亮度以及電風扇的轉速可以調節?【師生活動】學生小組討論后,大家積極發表自己的見解,教師及時點評.【結論】收音機的音量、某些臺燈的亮度以及電風扇的轉速都由這些電器的輸出功率決定,在電壓一定的情況下,用電器的輸出功率是用電器電路中電阻的反比例函數.設計意圖通過物理學科中已學過的電學公式,建立公式與反比例函數之間的聯系,用反比例函數知識解決跨學科問題,感受數學在現實生活中的應用,激發學生學習數學的興趣,提高學生應用數學解決問題的能力.知識拓展(1)在利用反比例函數解決跨學科問題時,要根據物理、化學等學科中的公式建立函數關系式,再根據需要進行變形或計算.(2)本節知識用到了轉化思想及數學建模思想,如將實際問題中的數量關系轉化為數學問題中的函數關系.1.建立反比例函數模型,解決跨學科問題一般步驟:(1)審題:弄清題意,分析問題中等量關系；(2)建模:根據等量關系,將跨學科問題轉化為數學問題,利用反比例函數知識建立數學模型.(3)解模:根據反比例函數的性質解決問題.2.本節課用到的思想和方法.1.一定質量的干松木,當它的體積V=2 m3時,它的密度=0.5103 kg/m3,則與V的函數關系式是()A.=1000VB.=V+1000C.=500VD.=1000V2.如果變阻器兩端電壓不變,那么通過變阻器的電流y(A)與電阻x()之間的函數關系圖象大致是()3.二氧化碳的密度(kg/m3)關于其體積V(m3)的函數關系如圖所示,那么函數關系式是.4.在壓力不變的情況下,某物體承受的壓強p(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數,其圖象如圖.(1)求p與S之間的函數關系式.(2)求當S=0.5 m2時物體承受的壓強p.(3)若要獲得2500 Pa的壓強,受力面積應為多少?【答案與解析】1.D解析:根據物理知識得=mV,體積V=2 m3時,它的密度=0.5103 kg/m3,m=20.5103=1000,=1000V.故選D.2.B解析:依題意,得電壓(U)=電阻(x)電流(y),當U一定時,可得y=Ux(x0,y0),函數圖象為雙曲線在第一象限的部分.故選B.3.=9.9V解析:由題意得與V成反比例函數的關系,設=kV,根據圖象信息可得當=0.5時,V=19.8,k=V=19.80.5=9.9,即可得=9.9V.故填=9.9V.4.解:(1)設p=kS.點(0.25,1000)在這個函數的圖象上,1000=k0.25,k=250,p與S的函數關系式為p=250S(S0).(2)當S=0.5 m2時,p=2500.5=500(Pa).(3)令p=2500,S=2502500=0.1(m2) .第2課時1.共同探究一例12.共同探究二例2一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的某種氣體,密度(單位:kg/m3)與體積V(單位:m3)滿足函數關系式 =kV(k為常數,k0),其圖象如圖,則k的值為()A.9B.-9C.4D.-42.用電器的輸出功率P與通過的電流I、用電器的電阻R之間的關系是P=I2R,下面說法正確的是()A.當P為定值時,I與R成反比例B.當P為定值時,I2與R成反比例C.當P為定值時,I與R成正比例D.當P為定值時,I2與R成正比例3.某同學做物理實驗,他使用的蓄電池的電壓為定值,電流I(A)與電阻R()的關系如圖,若該電路內的用電器限制電流不得超過8 A,則此用電器的可變電阻R()的范圍應為()A.R5C.R5D.R54.某氣球內充滿了一定質量的氣體,當溫度不變時,氣球內氣體的氣壓p(單位:kPa)是氣體體積V(單位:m3)的反比例函數,其圖象如圖.當氣球內的氣壓大于120 kPa時,氣球將爆炸.為了安全起見,氣球的體積應()A.不大于54 m3B.大于54 m3C.不小于45 m3D.小于54 m35.近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例,已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5 m,則y與x之間的函數關系式是.6.將50 N的壓力作用在1 cm2的面積上所產生的壓強是Pa,如果保持壓力不變,要產生5103 Pa的壓強應使受力面積變為cm2.7.實驗表明,當導線的長度一定時,導線的電阻與它的橫截面面積成反比例,一條長為100 km的鋁導線的電阻R()與它的橫截面面積S(cm2)的函數關系如圖,那么當S=5 cm2時,R