2019年四川省涼山州中考數學試卷一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，把正確選項的宇母填涂在答題卡上相應的位置1（4分）2的相反數是（）A2B2CD2（4分）2018年涼山州生產總值約為153300000000，用科學記數法表示數153300000000是（）A1.533109B1.5331010C1.5331011D1.53310123（4分）如圖，BDEF，AE與BD交于點C，B30，A75，則E的度數為（）A135B125C115D1054（4分）下列各式正確的是（）A2a2+3a25a4Ba2aa3C（a2）3a5Da5（4分）不等式1xx1的解集是（）Ax1Bx1Cx1Dx16（4分）某班40名同學一周參加體育鍛煉時間統計如表所示：人數（人）317137時間（小時）78910那么該班40名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數、中位數分別是（）A17，8.5B17，9C8，9D8，8.57（4分）下列命題：直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；兩點之間線段最短；相等的圓心角所對的弧相等；平分弦的直徑垂直于弦其中，真命題的個數是（）A1B2C3D48（4分）如圖，正比例函數ykx與反比例函數y的圖象相交于A、C兩點，過點A作x軸的垂線交x軸于點B，連接BC，則ABC的面積等于（）A8B6C4D29（4分）如圖，在ABC中，CACB4，cosC，則sinB的值為（）ABCD10（4分）如圖，在ABC中，D在AC邊上，AD：DC1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE：EC（）A1：2B1：3C1：4D2：311（4分）如圖，在AOC中，OA3cm，OC1cm，將AOC繞點O順時針旋轉90后得到BOD，則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（）cm2AB2CD12（4分）二次函數yax2+bx+c的部分圖象如圖所示，有以下結論：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0，其中錯誤結論的個數是（）A1B2C3D4二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13（4分）方程組的解是 14（4分）方程+1的解是 15（4分）如圖所示，AB是O的直徑，弦CDAB于H，A30，CD2，則O的半徑是 16（4分）在ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則SAEF：SCBF是 17（4分）將拋物線y（x3）22向左平移 個單位后經過點A（2，2）三、解答題（共5小題，共32分）18（5分）計算：tan45+（）0（）2+|2|19（5分）先化簡，再求值：（a+3）2（a+1）（a1）2（2a+4），其中a20（6分）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是OC上一點，連接EB過點A作AMBE，垂足為M，AM與BD相交于點F求證：OEOF21（8分）某校初中部舉行詩詞大會預選賽，學校對參賽同學獲獎情況進行統計，繪制了如下兩幅不完整的統計圖請結合圖中相關數據解答下列問題：（1）參加此次詩詞大會預選賽的同學共有 人；（2）在扇形統計圖中，“三等獎”所對應的扇形的圓心角的度數為 ；（3）將條形統計圖補充完整；（4）若獲得一等獎的同學中有來自七年級，來自九年級，其余的來自八年級，學校決定從獲得一等獎的同學中任選兩名同學參加全市詩詞大會比賽，請通過列表或樹狀圖方法求所選兩名同學中，恰好是一名七年級和一名九年級同學的概率22（8分）如圖，點D是以AB為直徑的O上一點，過點B作O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F（1）求證：DF是O的切線；（2）若OBBF，EF4，求AD的長四、B卷填空題（共2小題，每小題5分，共10分）23（5分）當0x3時，直線ya與拋物線y（x1）23有交點，則a的取值范圍是 24（5分）如圖，正方形ABCD中，AB12，AEAB，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQEP，交CD于點Q，則CQ的最大值為 五、解答題（共4小題，共40分）25（8分）已知二次函數yx2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且+1，求a的值26（10分）根據有理數乘法（除法）法則可知：若ab0（或0），則或；若ab0（或0），則或根據上述知識，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化為：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集為：x3或x2請你運用所學知識，結合上述材料解答下列問題：（1）不等式x22x30的解集為 （2）求不等式0的解集（要求寫出解答過程）27（10分）如圖，ABDBCD90，DB平分ADC，過點B作BMCD交AD于M連接CM交DB于N（1）求證：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的長28（12分）如圖，拋物線yax2+bx+c的圖象過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得SPAMSPAC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由2019年四川省涼山州中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，把正確選項的宇母填涂在答題卡上相應的位置1（4分）2的相反數是（）A2B2CD【分析】根據相反數的意義，只有符號不同的數為相反數【解答】解：根據相反數的定義，2的相反數是2故選：A【點評】本題考查了相反數的意義注意掌握只有符號不同的數為相反數，0的相反數是02（4分）2018年涼山州生產總值約為153300000000，用科學記數法表示數153300000000是（）A1.533109B1.5331010C1.5331011D1.5331012【分析】利用科學記數法表示即可【解答】解：科學記數法表示：153 300 000 0001.5331011故選：C【點評】本題主要考查科學記數法的表示，把一個數表示成a與10的n次冪相乘的形式（1a10，n為整數），這種記數法叫做科學記數法3（4分）如圖，BDEF，AE與BD交于點C，B30，A75，則E的度數為（）A135B125C115D105【分析】直接利用三角形的外角性質得出ACD度數，再利用平行線的性質分析得出答案【解答】解：B30，A75，ACD30+75105，BDEF，EACD105故選：D【點評】此題主要考查了平行線的性質以及三角形的外角，正確掌握平行線的性質是解題關鍵4（4分）下列各式正確的是（）A2a2+3a25a4Ba2aa3C（a2）3a5Da【分析】分別根據合并同類項的法則、同底數冪的乘法法則、冪的乘方法則以及二次根式的性質解答即可【解答】解：A、2a2+3a25a2，故選項A不合題意；B、a2aa3，故選項B符合題意；C、（a2）3a6，故選項C不合題意；D、|a|，故選項D不合題意故選：B【點評】本題主要考查了合并同類項的法則、冪的運算法則以及二次根式的性質，熟練掌握相關運算性質是解答本題的關鍵5（4分）不等式1xx1的解集是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】移項、合并同類項，系數化為1即可求解【解答】解：1xx1，2x2x1故選：C【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯6（4分）某班40名同學一周參加體育鍛煉時間統計如表所示：人數（人）317137時間（小時）78910那么該班40名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數、中位數分別是（）A17，8.5B17，9C8，9D8，8.5【分析】根據中位數、眾數的概念分別求得這組數據的中位數、眾數【解答】解：眾數是一組數據中出現次數最多的數，即8；由統計表可知，處于20，21兩個數的平均數就是中位數，這組數據的中位數為8.5；故選：D【點評】本題考查了中位數、眾數的概念本題為統計題，考查眾數與中位數的意義，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數7（4分）下列命題：直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；兩點之間線段最短；相等的圓心角所對的弧相等；平分弦的直徑垂直于弦其中，真命題的個數是（）A1B2C3D4【分析】根據點到直線的距離，線段的性質，弧、弦、圓心角之間的關系以及垂徑定理判斷即可【解答】解：直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；假命題；兩點之間線段最短；真命題；相等的圓心角所對的弧相等；假命題；平分弦的直徑垂直于弦；假命題；真命題的個數是1個；故選：A【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果那么”形式有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理8（4分）如圖，正比例函數ykx與反比例函數y的圖象相交于A、C兩點，過點A作x軸的垂線交x軸于點B，連接BC，則ABC的面積等于（）A8B6C4D2【分析】由于點A、C位于反比例函數圖象上且關于原點對稱，則SOBASOBC，再根據反比例函數系數k的幾何意義作答即可【解答】解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S|k|所以ABC的面積等于2|k|k|4故選：C【點評】主要考查了反比例函數y中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S|k|9（4分）如圖，在ABC中，CACB4，cosC，則sinB的值為（）ABCD【分析】過點A作ADBC，垂足為D，在RtACD中可求出AD，CD的長，在RtABD中，利用勾股定理可求出AB的長，再利用正弦的定義可求出sinB的值【解答】解：過點A作ADBC，垂足為D，如圖所示在RtACD中，CDCAcosC1，AD；在RtABD中，BDCBCD3，AD，AB2，sinB故選：D【點評】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的長是解題的關鍵10（4分）如圖，在ABC中，D在AC邊上，AD：DC1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE：EC（）A1：2B1：3C1：4D2：3【分析】過O作BC的平行線交AC與G，由中位線的知識可得出AD：DC1：2，根據已知和平行線分線段成比例得出ADDGGC，AG：GC2：1，AO：OF2：1，再由同高不同底的三角形中底與三角形面積的關系可求出BF：FC的比【解答】解：如圖，過O作OGBC，交AC于G，O是BD的中點，G是DC的中點又AD：DC1：2，ADDGGC，AG：GC2：1，AO：OE2：1，SAOB：SBOE2設SBOES，SAOB2S，又BOOD，SAOD2S，SABD4S，AD：DC1：2，SBDC2SABD8S，S四邊形CDOE7S，SAEC9S，SABE3S，故選：B【點評】本題考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練運用中位線定理和三角形面積公式11（4分）如圖，在AOC中，OA3cm，OC1cm，將AOC繞點O順時針旋轉90后得到BOD，則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（）cm2AB2CD【分析】根據旋轉的性質可以得到陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解【解答】解：AOCBOD，陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積2，故選：B【點評】本題考查了旋轉的性質以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積是解題關鍵12（4分）二次函數yax2+bx+c的部分圖象如圖所示，有以下結論：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0，其中錯誤結論的個數是（）A1B2C3D4【分析】對稱軸為x，得b3a；函數圖象與x軸有兩個不同的交點，得b24ac0；當x1時，ab+c0，當x3時，9a3b+c0，得5a2b+c0；由對稱性可知x1時對應的y值與x4時對應的y值相等，當x1時a+b+c0，4b+3c3b+b+3c3b+3a+3c3（a+b+c）0；【解答】解：由圖象可知a0，c0，對稱軸為x，x，b3a，正確；函數圖象與x軸有兩個不同的交點，b24ac0，正確；當x1時，ab+c0，當x3時，9a3b+c0，10a4b+2c0，5a2b+c0，正確；由對稱性可知x1時對應的y值與x4時對應的y值相等，當x1時a+b+c0，b3a，4b+3c3b+b+3c3b+3a+3c3（a+b+c）0，4b+3c0，錯誤；故選：A【點評】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握從函數圖象獲取信息，將信息與函數解析式相結合解題是關鍵二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13（4分）方程組的解是【分析】利用加減消元法解之即可【解答】解：，得：x6，把x6代入得：6+y10，解得：y4，方程組的解為：，故答案為：【點評】本題考查了解二元一次方程組，正確掌握加減消元法是解題的關鍵14（4分）方程+1的解是x2【分析】去分母，把分式方程化為整式方程，求解并驗根即可【解答】解：去分母，得（2x1）（x+1）2（x+1）（x1）去括號，得2x2+x3x21移項并整理，得x2+x20所以（x+2）（x1）0解得x2或x1經檢驗，x2是原方程的解故答案為：x2【點評】本題考查了分式方程、一元二次方程的解法掌握分式方程的解法是解決本題的關鍵注意驗根15（4分）如圖所示，AB是O的直徑，弦CDAB于H，A30，CD2，則O的半徑是2【分析】連接BC，由圓周角定理和垂徑定理得出ACB90，CHDHCD，由直角三角形的性質得出AC2CH2，ACBC2，AB2BC，得出BC2，AB4，求出OA2即可【解答】解：連接BC，如圖所示：AB是O的直徑，弦CDAB于H，ACB90，CHDHCD，A30，AC2CH2，在RtABC中，A30，ACBC2，AB2BC，BC2，AB4，OA2，即O的半徑是2；故答案為：2【點評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30角的直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵16（4分）在ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則SAEF：SCBF是4：25或9：25【分析】分AE：ED2：3、AE：ED3：2兩種情況，根據相似三角形的性質計算即可【解答】解：當AE：ED2：3時，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AE：BC2：5，AEFCBF，SAEF：SCBF（）24：25；當AE：ED3：2時，同理可得，SAEF：SCBF（）29：25，故答案為：4：25或9：25【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵17（4分）將拋物線y（x3）22向左平移3個單位后經過點A（2，2）【分析】直接利用二次函數的平移規律結合二次函數圖象上點的性質進而得出答案【解答】解：將拋物線y（x3）22向左平移后經過點A（2，2），設平移后解析式為：y（x3+a）22，則2（23+a）22，解得：a3或a1（不合題意舍去），故將拋物線y（x3）22向左平移3個單位后經過點A（2，2）故答案為：3【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規律是解題關鍵三、解答題（共5小題，共32分）18（5分）計算：tan45+（）0（）2+|2|【分析】分別進行特殊角的三角函數值的運算，任何非零數的零次冪等于1，負整數指數冪以及絕對值的意義化簡，然后按照實數的運算法則進行計算求得結果【解答】解：原式1+12+（2）【點評】本題考查了實數的運算法則，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、特殊角的三角函數值等知識19（5分）先化簡，再求值：（a+3）2（a+1）（a1）2（2a+4），其中a【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式進行展開，（a+1）（a1）利潤平方差公式可化為（a21），則將各項合并即可化簡，最后代入a進行計算【解答】解：原式a2+6a+9（a21）4a82a+2將a代入原式2（）+21【點評】本題主要考查整式的混合運算，靈活運用兩條乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵，同時，在去括號的過程中要注意括號前的符號，若為負號，去括號后，括號里面的符號要改變20（6分）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是OC上一點，連接EB過點A作AMBE，垂足為M，AM與BD相交于點F求證：OEOF【分析】根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到OBOA，根據AMBE，即可得出MEA+MAE90AFO+MAE，從而證出RtBOERtAOF，得到OEOF【解答】證明：四邊形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFOBOEAOF（AAS）OEOF【點評】本題主要考查了正方形的性質、三角形全等的性質和判定，在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形21（8分）某校初中部舉行詩詞大會預選賽，學校對參賽同學獲獎情況進行統計，繪制了如下兩幅不完整的統計圖請結合圖中相關數據解答下列問題：（1）參加此次詩詞大會預選賽的同學共有40人；（2）在扇形統計圖中，“三等獎”所對應的扇形的圓心角的度數為90；（3）將條形統計圖補充完整；（4）若獲得一等獎的同學中有來自七年級，來自九年級，其余的來自八年級，學校決定從獲得一等獎的同學中任選兩名同學參加全市詩詞大會比賽，請通過列表或樹狀圖方法求所選兩名同學中，恰好是一名七年級和一名九年級同學的概率【分析】（1）利用鼓勵獎的人數除以它所占的百分比得到的總人數；（2）用360乘以二等獎人數占被調查人數的比例即可得；（3）計算出一等獎和二等獎的人數，然后補全條形統計圖；（4）畫樹狀圖（用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生）展示所有12種等可能的結果數，再找出所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）參加此次詩詞大會預選賽的同學共有1845%40（人），故答案為：40；（2）扇形統計圖中獲三等獎的圓心角為36090，故答案為：90（3）獲二等獎的人數4020%8，一等獎的人數為40810184（人），條形統計圖為：（4）由題意知，獲一等獎的學生中，七年級有1人，八年級有1人，九年級有2人，畫樹狀圖為：（用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生）共有12種等可能的結果數，其中所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數為4，所以所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率也考查了統計圖22（8分）如圖，點D是以AB為直徑的O上一點，過點B作O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F（1）求證：DF是O的切線；（2）若OBBF，EF4，求AD的長【分析】（1）連接OD，由AB為O的直徑得BDC90，根據BEEC知13、由ODOB知24，根據BC是O的切線得3+490，即1+290，得證；（2）根據直角三角形的性質得到F30，BEEF2，求得DEBE2，得到DF6，根據三角形的內角和得到ODOA，求得AADOBOD30，根據等腰三角形的性質即可得到結論【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD，AB為O的直徑，ADBBDC90，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切線，3+490，1+490，又24，1+290，DF為O的切線；（2）OBBF，OF2OD，F30，FBE90，BEEF2，DEBE2，DF6，F30，ODF90，FOD60，ODOA，AADOBOD30，AF，ADDF6【點評】本題考查了切線的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵四、B卷填空題（共2小題，每小題5分，共10分）23（5分）當0x3時，直線ya與拋物線y（x1）23有交點，則a的取值范圍是3a1【分析】直線ya與拋物線y（x1）23有交點，則可化為一元二次方程組利用根的判別式進行計算【解答】解：法一：ya與拋物線y（x1）23有交點則有a（x1）23，整理得x22x2a0b24ac4+4（2+a）0解得a3，0x3，對稱軸x1y（31）231a1法二：由題意可知，拋物線的 頂點為（1，3），而0x3拋物線y的取值為3y1ya，則直線y與x軸平行，要使直線ya與拋物線y（x1）23有交點，拋物線y的取值為3y1，即為a的取值范圍，3a1故答案為：3a1【點評】此題主要考查二次函數圖象的性質及交點的問題，此類問題，通常可化為一元二次方程，利用根的判別式或根與系數的關系進行計算24（5分）如圖，正方形ABCD中，AB12，AEAB，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQEP，交CD于點Q，則CQ的最大值為4【分析】先證明BPECQP，得到與CQ有關的比例式，設CQy，BPx，則CP12x，代入解析式，得到y與x的二次函數式，根據二次函數的性質可求最值【解答】解：BEP+BPE90，QPC+BPE90，BEPCPQ又BC90，BPECQP設CQy，BPx，則CP12x，化簡得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以當x6時，y有最大值為4故答案為4【點評】本題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質，以及二次函數最值問題，幾何最值用二次函數最值求解考查了樹形結合思想五、解答題（共4小題，共40分）25（8分）已知二次函數yx2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且+1，求a的值【分析】有韋達定理得x1+x21，x1x2a，將式子+1化簡代入即可；【解答】解：yx2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，x1+x21，x1x2a，+1，a1+或a1；【點評】本題考查二次函數的性質；靈活運用完全平方公式，掌握根與系數的關系是解題的關鍵26（10分）根據有理數乘法（除法）法則可知：若ab0（或0），則或；若ab0（或0），則或根據上述知識，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化為：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集為：x3或x2請你運用所學知識，結合上述材料解答下列問題：（1）不等式x22x30的解集為1x3（2）求不等式0的解集（要求寫出解答過程）【分析】（1）根據有理數乘法運算法則可得不等式組，仿照有理數乘法運算法則得出兩個不等式組，分別求解可得（2）根據有理數除法運算法則可得不等式組，仿照有理數除法運算法則得出兩個不等式組，分別求解可得【解答】解：（1）原不等式可化為：或由得，空集，由得，1x3，原不等式的解集為：1x3，故答案為：1x3（2）由0知或，解不等式組，得：x1；解不等式組，得：x4；所以不等式0的解集為x1或x4【點評】本題主要考查解不等式、不等式組的能力，將原不等式轉化為兩個不等式組是解題的關鍵27（10分）如圖，ABDBCD90，DB平分ADC，過點B作BMCD交AD于M連接CM交DB于N（1）求證：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的長【分析】（1）通過證明ABDBCD，可得，可得結論；（2）由平行線的性質可證MBDBDC，即可證AMMDMB4，由BD2ADCD和勾股定理可求MC的長，通過證明MNBCND，可得，即可求MN的長【解答】證明：（1）DB平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCDBD2ADCD（2）BMCDMBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212MC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCND，且MC2MN【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求MC的長度是本題的關鍵28（12分）如圖，拋物線yax2+bx+c的圖象過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得SPAMSPAC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點A（1，0）、B（3，0），故可設交點式ya（x+1）（x3），把點C代入即求得a的值，減小計算量（2）由于點A、B關于對稱軸：直線x1對稱，故有PAPB，則CPACAC+PC+PAAC+PC+PB，所以當C、P、B在同一直線上時，CPACAC+CB最小利用點A、B、C的坐標求AC、CB的長，求直線BC解析式，把x1代入即求得點P縱坐標（3）由SPAMSPAC可得，當兩三角形以PA為底時，高相等，即點C和點M到直線PA距離相等又因為M在x軸上方，故有CMPA由點A、P坐標求直線AP解析式，即得到直線CM解析式把直線CM解析式與拋物線解析式聯立方程組即求得點M坐標【解答】解：（1）拋物線與x軸交于點A（1，0）、B（3，0）可設交點式ya（x+1）（x3）把點C（0，3）代入得：3a3a1y（x+1）（x3）x2+2x+3拋物線解析式為yx2+2x+3（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PAC的周長最小如圖1，連接PB、BC點P在拋物線對稱軸直線x1上，點A、B關于對稱軸對稱PAPBCPACAC+PC+PAAC+PC+PB當C、P、B在同一直線上時，PC+PBCB最小A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）AC，BCCPACAC+CB最小設直線BC解析式為ykx+3把點B代入得：3k+30，解得：k1直線BC：yx+3yP1+32點P（1，2）使PAC的周長最小，最小值為（3）存在滿足條件的點M，使得SPAMSPACSPAMSPAC當以PA為底時，兩三角形等高點C和點M到直線PA距離相等M在x軸上方CMPAA（1，0），P（1，2），設直線AP解析式為ypx+d 解得：直線AP：yx+1直線CM解析式為：yx+3 解得：（即點C），點M坐標為（1，4）【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式，軸對稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法其中第（3）題條件給出點M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規而簡單